Littlewood polynom

För de ortogonala polynomen i flera variabler, se Hall–Littlewood-polynomen .

Rötterna till alla Littlewood-polynom av grad 15.

I matematik är ett Littlewood-polynom ett polynom vars alla koefficienter är +1 eller −1. Littlewoods problem frågar hur stora värdena för ett sådant polynom måste vara på enhetscirkeln i det komplexa planet . Svaret på detta skulle ge information om autokorrelationen av binära sekvenser. De är uppkallade efter JE Littlewood som studerade dem på 1950-talet.

Definition

Ett polynom

$p(x)=\summa _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$

är ett Littlewood-polynom om alla $a_{i}=\pm 1$ . Littlewoods problem frågar efter konstanter c ₁ och c ₂ så att det finns oändligt många Littlewood-polynom p _n , med ökande grad n som uppfyller

$c_{1}{\sqrt {n+1}}\leq |p_{n}(z)|\leq c_{2}{\sqrt {n+1}}.\,$

för alla $z$ på enhetscirkeln. Rudin –Shapiro-polynomen ger en sekvens som uppfyller den övre gränsen med $c_{2}={\sqrt {2}}$ . Under 2019 konstruerades en oändlig familj av Littlewood-polynom som uppfyller både den övre och nedre gränsen av Paul Balister, Béla Bollobás, Robert Morris, Julian Sahasrabudhe och Marius Tiba.

•   Peter Borwein (2002). Beräkningsexkursioner i analys och talteori . CMS-böcker i matematik. Springer-Verlag . s. 2–5, 121–132. ISBN 0-387-95444-9 .
• JE Littlewood (1968). Några problem i verklig och komplex analys . DC Heath.
• Balister, Paul; Bollobás, Béla; Morris, Robert; Sahasrabudhe, Julian; Tiba, Marius (2019). "Platta Littlewood-polynom finns". arXiv : 1907.09464 . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )