Sex exponentialsats

Inom matematik , särskilt transcendental talteori , är sex exponentialsatsen ett resultat som, givet de rätta förhållandena på exponenterna, garanterar transcendensen av minst en av en uppsättning exponentialer.

Påstående

Om x ₁ , x ₂ , ..., x _d är d komplexa tal som är linjärt oberoende av de rationella talen och y ₁ , y ₂ , ..., y _l är l komplexa tal som också är linjärt oberoende av rationella tal, och om dl > d + l är minst ett av följande dl- tal transcendentalt :

\exp(x_{i}y_{j}),\quad (1\leq i\leq d,\ 1\leq j\leq l).

Det mest intressanta fallet är när d = 3 och l = 2, i vilket fall det finns sex exponentialer, därav namnet på resultatet. Satsen är svagare än den relaterade men hittills obevisade fyra exponentialförmodan , där den strikta olikheten dl > d + l ersätts med dl ≥ d + l , vilket tillåter d = l = 2.

Satsen kan anges i termer av logaritmer genom att introducera mängden L av logaritmer av algebraiska tal :

{\mathcal {L}}=\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\}.

Satsen säger då att om λ _ij är element i L för i = 1, 2 och j = 1, 2, 3, så att λ ₁₁ , λ ₁₂ och λ ₁₃ är linjärt oberoende av de rationella talen, och λ ₁₁ och λ ₂₁ är också linjärt oberoende av de rationella talen, sedan matrisen

M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}&\lambda _{13}\\\ lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\end{pmatrix}}

har plats 2.

Historia

Ett specialfall av resultatet där x ₁ , x ₂ och x ₃ är logaritmer av positiva heltal , y ₁ = 1 och y ₂ är reell , nämndes först i en artikel av Leonidas Alaoglu och Paul Erdős från 1944 där de försök att bevisa att förhållandet mellan på varandra följande kolossalt rikliga tal alltid är primtal . De hävdade att Carl Ludwig Siegel kände till ett bevis för detta speciella fall, men det finns inte registrerat. Med hjälp av specialfallet lyckas de bevisa att förhållandet mellan på varandra följande kolossalt rikliga tal alltid är antingen ett primtal eller ett halvprimtal .

Teoremet var först uttryckligen angett och bevisat i sin fullständiga form oberoende av Serge Lang och Kanakanahalli Ramachandra på 1960-talet.

Fem exponentialsats

Ett starkare, relaterat resultat är fem exponentialsatsen , som är följande. Låt x ₁ , x ₂ och y ₁ , y ₂ vara två par av komplexa tal, där varje par är linjärt oberoende av de rationella talen, och låt γ vara ett algebraiskt tal som inte är noll. Då är minst ett av följande fem tal transcendentalt:

e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_ {2}},e^{\gamma x_{2}/x_{1}}.

Denna sats antyder sex exponentialsatsen och är i sin tur antydd av den ännu obevisade fyra exponentialförmodan, som säger att faktiskt ett av de fyra första talen på denna lista måste vara transcendentalt.

Sharp sex exponentialsats

Ett annat relaterat resultat som innebär både sex exponentialsatsen och fem exponentialsatsen är den skarpa sexexponentialsatsen . Denna sats är följande. Låt x ₁ , x ₂ och x ₃ vara komplexa tal som är linjärt oberoende av de rationella talen, och låt y ₁ och y ₂ vara ett par av komplexa tal som är linjärt oberoende av de rationella talen, och anta att β _ij är sex algebraiska tal för 1 ≤ i ≤ 3 och 1 ≤ j ≤ 2 så att följande sex tal är algebraiska:

e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2} y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{x_{3}y_{1}-\beta _{31 }},e^{x_{3}y_{2}-\beta _{32}}.

Då x _i y _j = β _ij för 1 ≤ i ≤ 3 och 1 ≤ j ≤ 2. Sex exponentialsatsen följer sedan genom att sätta β _ij = 0 för varje i och j , medan fem exponentialsatsen följer genom att sätta x ₃ = γ/ x ₁ och med hjälp av Bakers sats för att säkerställa att x _i är linjärt oberoende.

Det finns en skarp version av fem exponentialsatsen också, även om den ännu obevisad är känd som den skarpa fem exponentialförmodan . Denna gissning innebär både den skarpa sexexponentialsatsen och femexponentialsatsen, och anges enligt följande. Låt x ₁ , x ₂ och y ₁ , y ₂ vara två par av komplexa tal, där varje par är linjärt oberoende av de rationella talen, och låt α, β ₁₁ , β ₁₂ , β ₂₁ , β ₂₂ och γ vara sex algebraiska tal med γ ≠ 0 så att följande fem tal är algebraiska:

e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2} y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{(\gamma x_{2}/x_{1})- \alpha }.

Då är x _i y _j = β _ij för 1 ≤ i , j ≤ 2 och γ x ₂ = α x ₁ .

En konsekvens av denna gissning som för närvarande inte är känd skulle vara transcendensen av e ^π² , genom att sätta x ₁ = y ₁ = β ₁₁ = 1, x ₂ = y ₂ = i π, och alla andra värden i satsen till vara noll.

Stark sex exponentialsats

Logical implications between the various n-exponentials problems

De logiska implikationerna mellan de olika problemen i denna cirkel. De i rött är ännu oprövade medan de i blått är kända resultat. Det översta resultatet hänvisar till det som diskuteras i Bakers teorem , medan de fyra exponentiala gissningarna är detaljerade i artikeln om fyra exponentialförmodanden .

En ytterligare förstärkning av satserna och gissningarna inom detta område är de starka versionerna. Den starka sex exponentialsatsen är ett resultat bevisat av Damien Roy som antyder den skarpa sexexponentialsatsen. Detta resultat avser vektorrummet över de algebraiska talen som genereras av 1 och alla logaritmer av algebraiska tal, här betecknade som L ^∗ . Så L ^∗ är mängden av alla komplexa tal i formen

\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\log \alpha _{i} ,

för vissa n ≥ 0, där alla β _i och α _i är algebraiska och varje gren av logaritmen beaktas. Den starka sexexponentialsatsen säger då att om x ₁ , x ₂ och x ₃ är komplexa tal som är linjärt oberoende av de algebraiska talen, och om y ₁ och y ₂ är ett par av komplexa tal som också är linjärt oberoende av algebraiska tal då är minst ett av de sex talen x _i y _j för 1 ≤ i ≤ 3 och 1 ≤ j ≤ 2 inte i L ^∗ . Detta är starkare än standardsatsen för sex exponentialer som säger att ett av dessa sex tal inte bara är logaritmen för ett algebraiskt tal.

Det finns också en stark fem exponentialgissning formulerad av Michel Waldschmidt . Det skulle innebära både starka sex exponentialsatsen och de skarpa fem exponentialernas gissningar. Denna gissning hävdar att om x ₁ , x ₂ och y ₁ , y ₂ är två par av komplexa tal, där varje par är linjärt oberoende av de algebraiska talen, så är åtminstone ett av följande fem tal inte i L ^∗ :

x_{1}y_{1},\,x_{1}y_{2},\,x_{2}y_{1},\,x_{2}y_{2},\,x_{1 }/x_{2}.

Alla ovanstående gissningar och satser är konsekvenser av den obevisade förlängningen av Bakers sats , att logaritmer av algebraiska tal som är linjärt oberoende av de rationella talen också är automatiskt algebraiskt oberoende. Diagrammet till höger visar de logiska implikationerna mellan alla dessa resultat.

Generalisering till kommutativa gruppvarianter

Exponentialfunktionen $ez uniformiserar$ den exponentiella kartan för den multiplikativa gruppen $G m$ . Därför kan vi omformulera de sex exponentialsatsen mer abstrakt enligt följande:

Låt

G = G m \times G m

och ta

u : C \to G (C)

för att vara en komplex-analytisk grupphomomorfism som inte är noll . Definiera

L

som mängden komplexa tal

l

för vilka

u (l)

är en algebraisk punkt i

G.

Om en minimal genererande uppsättning av

L

över

Q

har mer än två element är bilden

u (C)

en algebraisk undergrupp av

G (C)

.

(För att härleda det klassiska påståendet, ställ in $u (z) = (e y 1 z; e y 2 z)$ och notera att $Q x 1 + Q x 2 + Q x 3$ är en delmängd av $L$ ).

På detta sätt kan satsen för sex exponentialsatsen generaliseras till en godtycklig kommutativ gruppvariation $G$ över fältet av algebraiska tal. Denna generaliserade sex exponentiella gissning tycks dock vara utanför räckvidd vid det nuvarande tillståndet för transcendental talteori .

För de speciella men intressanta fallen $G = G m \times E$ och $G = E \times E'$ , där $E, E'$ är elliptiska kurvor över fältet av algebraiska tal, bevisades resultat mot de generaliserade sex exponentiella gissningarna av Aleksander Momot. Dessa resultat involverar exponentialfunktionen $e z$ och en Weierstrass-funktion $\wp$ resp. två Weierstrass-funktioner $\wp ,\wp '$ med algebraiska invarianter $g_{2},g_{3},g_{2} ',g_{3}'$ , istället för de två exponentialfunktionerna $e^{y_{1}z},e^{y_{2}z}$ i den klassiska påstående.

Låt $G = G m \times E$ och antag att $E$ inte är isogen för en kurva över ett reellt fält och att $u (C)$ inte är en algebraisk undergrupp av $G (C)$ . Sedan genereras $L över$ $Q$ antingen av två element $x 1, x 2$ , eller tre element $x 1, x 2, x 3$ $Rc som$ inte alla ingår i en reell linje , där $c$ är ett komplext tal som inte är noll. Ett liknande resultat visas för $G = E \times E'$ .

Anteckningar

Alaoglu, Leonidas ; Erdős, Paul (1944). "På mycket sammansatta och liknande siffror". Trans. Amer. Matematik. Soc. 56 (3): 448–469. doi : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319 . MR 0011087 .
Lang, Serge (1966). Introduktion till transcendentala tal . Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547 .
Momot, Aleksander (2011). "Täthet av rationella punkter på kommutativa gruppvarianter och liten transcendensgrad". arXiv : 1011.3368 [ math.NT ].
Ramachandra, Kanakanahalli (1967–1968). "Bidrag till teorin om transcendentala tal. I, II" . Acta Arith. 14 : 65–72, 73–88. doi : 10.4064/aa-14-1-65-72 . MR 0224566 .
Roy, Damien (1992). "Matriser vars koefficienter är linjära former i logaritmer" . J. Talteori . 41 (1): 22–47. doi : 10.1016/0022-314x(92)90081-y . MR 1161143 .
Waldschmidt, Michel (1988). "Om transcendensmetoderna för Gel'fond och Schneider i flera variabler". I Baker, Alan (red.). Nya framsteg inom transcendensteorin . Cambridge University Press . s. 375–398. MR 0972013 .
Waldschmidt, Michel (2005). "Hopf algebror och transcendentala tal". I Aoki, Takashi; Kanemitsu, Shigeru; Nakahara, Mikio; et al. (red.). Zeta-funktioner, topologi och kvantfysik: Artikel från symposiet som hölls vid Kinki University, Osaka, 3–6 mars 2003 . Utvecklingen inom matematiken. Vol. 14. Springer. s. 197–219. MR 2179279 .

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Sex exponentialsats" . MathWorld .
"Sex exponentialsats" . PlanetMath .