Sears–Haack kropp

Sears –Haack-kroppen är formen med det lägsta teoretiska vågmotståndet i överljudsflöde, för en given kroppslängd och given volym. Den matematiska härledningen förutsätter liten störning (linjäriserat) överljudsflöde, som styrs av Prandtl–Glauert-ekvationen . Härledningen och formen publicerades oberoende av två separata forskare: Wolfgang Haack 1941 och senare av William Sears 1947.

Teorin indikerar att vågmotståndet skalar som kvadraten på andraderivatan av areafördelningen, $D_{\text{wave}}\sim [S''(x )]^{2}$ (se hela uttrycket nedan), så för lågvågsdrag är det nödvändigt att $S(x)$ är jämn . Således är Sears–Haack-kroppen spetsig i varje ände och växer mjukt till ett maximum och minskar sedan mjukt mot den andra punkten.

Användbara formler

Tvärsnittsarean för en Sears–Haack-kropp är

S(x)={\ frac {16V}{3L\pi }}[4x(1-x)]^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}[4x(1-x)]^{3 /2},

dess volym är

V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,

dess radie är

r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{3/4} ,

derivatan (lutningen) är

r'(x)=3R_{\text{max}}[4x(1) -x)]^{-1/4}(1-2x),

den andra derivatan är

_ displaystyle r''(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x)]^{-5/4}(1-2x)^{2}+2[4x(1- x)]^{-1/4}\},}

var:

x är förhållandet mellan avståndet från näsan till hela kroppens längd (detta är alltid mellan 0 och 1),
r är den lokala radien,
$R_{\text{max}}$ är radien vid dess maximum (förekommer vid x = 0,5, mitten av formen),
V är volymen,
L är längden.

Från Slender-body-teorin ^{[ ytterligare förklaring behövs ]} följer att:

D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell } \int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1 }\mathrm {d} x_{2},

alternativt:

D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\ mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.

Dessa formler kan kombineras för att få följande:

D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}} {\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^ {2},

C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^ {3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},

var:

$D_{\text{wave}}$ är vågens dragkraft ,
$C_{D_{\text{wave}}}$ är dragkoefficienten (normaliserad av det dynamiska trycket och frontytan),
$\rho$ är vätskans densitet,
U är hastigheten.

Generalisering av RT Jones

Sears–Haacks kroppsform härledning är korrekt endast i gränsen för en smal kropp. Teorin har generaliserats till smala men icke-axisymmetriska former av Robert T. Jones i NACA Report 1284. I denna förlängning definieras området ${\displaystyle S(x)} på$ Mach-konen vars spets är vid plats $x$ , snarare än på ${\displaystyle x={\text{constant}}}-$ planet som antagits av Sears och Haack. Därför gör Jones teori den tillämpbar på mer komplexa former som hela överljudsflygplan.

Områdesregel

Ett ytligt relaterat koncept är Whitcomb-arearegeln , som säger att vågmotstånd på grund av volym i transoniskt flöde främst beror på fördelningen av total tvärsnittsarea, och för lågvågsmotstånd måste denna fördelning vara jämn. En vanlig missuppfattning är att Sears–Haack-kroppen har den ideala areafördelningen enligt arearegeln, men detta är inte korrekt. Prandtl –Glauert-ekvationen , som är utgångspunkten i Sears–Haacks kroppsformsavledning, är inte giltig i transoniskt flöde, vilket är där områdesregeln gäller .

Se även

^ Palaniappan, Karthik (2004). Kroppar som har minsta tryckmotstånd i överljudsflöde – undersöker icke-linjära effekter ( PDF) . 22:a konferensen och utställningen för tillämpad aerodynamik. Antony Jameson . Hämtad 2010-09-16 .
^ NACA Report 1284, Theory of Wing-Body Drag at Supersonic Speeds, av Robert T. Jones, 8 juli 1953

externa länkar

[1] Palaniappan, Karthik (2004). Kroppar som har minsta tryckmotstånd i överljudsflöde – undersöker icke-linjära effekter ( PDF) . 22:a konferensen och utställningen för tillämpad aerodynamik. Antony Jameson . Hämtad 2010-09-16 .

[2] NACA Report 1284, Theory of Wing-Body Drag at Supersonic Speeds, av Robert T. Jones, 8 juli 1953