Prandtl–Glauert transformation

Prandtl –Glauert-transformationen är en matematisk teknik som gör det möjligt att lösa vissa komprimerbara flödesproblem med inkompressibelt flödesberäkningsmetoder. Det gör det också möjligt att tillämpa inkompressibelt flödesdata på komprimerbart flödesfall.

Matematisk formulering

Plotta den inversa Prandtl–Glauert-faktorn

1/\beta

som en funktion av freestream Mach-tal . Lägg märke till den oändliga gränsen vid Mach 1.

Osynligt komprimerbart flöde över smala kroppar styrs av en linjäriserad komprimerbar liten-störningspotentialekvation:

\phi _{xx}+\phi _{yy}+\phi _{zz}=M_{\ infty }^{2}\phi _{xx}\quad {\mbox{(i flödesfält)}}

tillsammans med gränsvillkoret för små störningar flöde-tangens.

V_{\infty }n_{x}+\phi _{y}n_{y}+\phi _{z} n_{z}=0\quad {\mbox{(på kroppsytan)}}

$M_{\infty }$ är freestream-machnumret, och $n_{x},n_{y},n_{z}$ är ytnormalvektorn komponenter. Den okända variabeln är störningspotentialen $\phi (x,y,z)$ , och den totala hastigheten ges av dess gradient plus friströmshastigheten $V_{\ infty }$ som här antas vara längs $x$ .

{\vec {V}}=\nabla \phi +V_{\infty }{\hat {x}}=(V_{\infty }+\phi _{x}){\hat {x}}+\phi _{y}{\hat {y}}+\phi _{z }{\hat {z}}

Ovanstående formulering är endast giltig om uppskattningen av små störningar gäller,

|\nabla \phi |\ll V_{\infty }

och dessutom att det inte finns något transoniskt flöde, ungefärligt angivet av kravet att det lokala Mach-talet inte överstiger enhet.

\left[1+(\gamma +1){\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }} }\right]M_{\infty }^{2}<1

Prandtl–Glauert-transformationen (PG) använder Prandtl–Glauert-faktorn $\beta \equiv {\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}$ . Den består av att skala ner alla y- och z -dimensioner och attackvinkeln med faktorn $\beta ,$ potentialen med $\beta ^{2},$ och x - komponenten i normala vektorer av $\beta$ :

{\begin{aligned}{\bar {x}}&=x\\{\bar { y}}&=\beta y\\{\bar {z}}&=\beta z\\{\bar {\alpha }}&=\beta \alpha \\{\bar {\phi }}&= \beta ^{2}\phi \end{aligned}}

Denna ${\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}$ geometri kommer då att ha normala vektorer vars x-komponenter reduceras med $\beta$ från de ursprungliga:

{\begin{aligned}{\bar {n}}_{\bar {x}}&=\beta n_{x}\\{\bar {n}}_{\bar {y}}&=n_{y}\\{\bar {n}}_{\bar {z}}&=n_{z} \end{aligned}}

Potentialekvationen för små störningar omvandlas sedan till Laplace-ekvationen,

{\bar {\phi }}_{{\bar {x}}{\bar { x}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {y}}{\bar {y}}}+{\bar {\phi}}_{{\bar {z}}{\ stapel {z}}}=0\quad {\mbox{(i flödesfält)}}

och flödes-tangens-gränsvillkoret bibehåller samma form.

V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar { x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi}}_{\bar {z }}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0\quad {\mbox{(på kroppsytan)}}

Detta är det inkompressibla potentialflödesproblemet om den transformerade ${\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}$ geometri. Det kan lösas med inkompressibla metoder, såsom teori om tunn bäryta, virvelgittermetoder, panelmetoder, etc. Resultatet är den transformerade störningspotentialen $\displaystyle {\bar {\phi }}}$ }}} eller dess gradientkomponenter ${\bar {\phi }}_{\bar {x}},{\bar {\phi}}_{\bar {y}},{ \bar {\phi }}_{\bar {z}}$ i det transformerade utrymmet. Den fysikaliska linjäriserade tryckkoefficienten erhålls sedan genom den inversa transformationen

C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_ {\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty } }}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}

som är känt som Götherts regel

Resultat

För tvådimensionellt flöde är nettoresultatet att $C_{p}$ och även lyft- och momentkoefficienterna $c_{l},c_{m}$ ökas med faktor $1/\beta$ :

{\begin{aligned}C_{p}&={\frac {C_{p0}}{\beta }}\\c_ {l}&={\frac {c_{l0}}{\beta }}\\c_{m}&={\frac {c_{m0}}{\beta }}\end{aligned}}

där $C_{p0},c_{l0},c_{m0}$ är de inkompressibla flödesvärdena för den ursprungliga (oskalerade) $xyz$ geometrin. Detta resultat endast i 2D kallas Prandtl-regeln.

För tredimensionella flöden gäller dessa enkla $1/\beta$ skalningar INTE. Istället är det nödvändigt att arbeta med den skalade ${\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}$ geometrin enligt ovan, och använda Götherts Regel för att beräkna $C_{p}$ och därefter krafterna och momenten. Inga enkla resultat är möjliga, förutom i speciella fall. Till exempel, genom att använda Lifting-Line Theory för en platt elliptisk vinge, är lyftkoefficienten

C_{L}={\frac {2\pi \alpha }{\beta +2/AR}}

där AR är vingens bildförhållande. Observera att i 2D-fallet där AR → ∞ reduceras detta till 2D-fallet, eftersom vi i inkompressibelt 2D-flöde för en platt bäryta har $c_{l0}=2\pi \alpha ,$ som ges av Thin aerofoil teorin .

Begränsningar

PG-transformationen fungerar bra för alla freestream Mach-nummer upp till 0,7 eller så, eller när transoniskt flöde börjar dyka upp.

Historia

Intresset för kompressibilitetsforskning uppstod efter första världskriget, när flygplanets propellerspetsar började nå M=0,8. Ludwig Prandtl hade lärt ut omvandlingen i sina föreläsningar omkring 1922, men det första rigorösa beviset publicerades 1928 av Hermann Glauert . Införandet av denna relation möjliggjorde design av flygplan som kunde operera i områden med högre subsonisk hastighet. Ursprungligen utvecklades alla dessa resultat för 2D-flöde. Göthert insåg så småningom 1946 att den geometriska distorsionen som induceras av PG-transformationen gör den enkla 2D Prandtl-regeln ogiltig för 3D, och angav korrekt hela 3D-problemet som beskrivits ovan.

PG-transformationen utvidgades av Jakob Ackeret till överljuds-friströmsflöden 1925. Liksom för subsoniska fallet är överljudsfallet endast giltigt om det inte finns någon transonisk effekt, vilket kräver att kroppen är smal och friströms Mach är tillräckligt långt över enhet.

Säregenhet

Nära ljudhastigheten $M_{\infty }\simeq 1$ har PG-transformationen en singularitet . Singulariteten kallas även Prandtl–Glauert singulariteten och flödesmotståndet beräknas närma sig oändligheten. I verkligheten förstärks aerodynamiska och termodynamiska störningar kraftigt nära ljudhastigheten, men en singularitet förekommer inte. En förklaring till detta är att den linjäriserade småstörningspotentialekvationen ovan inte är giltig, eftersom den antar att det endast finns små variationer i Mach-tal inom flödet och frånvaron av kompressionschocker och därför saknar vissa icke-linjära termer. Dessa blir dock relevanta så snart någon del av flödesfältet accelererar över ljudets hastighet och blir väsentliga nära $M_{\infty }\simeq 1.$ Den mer korrekta olinjära ekvationen gör det inte uppvisa singulariteten.

Se även

Citat

Källor

Göthert, BH (1940), "Ebene und räumliche Strömung bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten: Erweiterung der Prandtl'schen Regel" [ Plane and Three-Dimensional Flow at High Subsonic Speeds: Extension of the Prandtl Rule], Lilienthal Gesellschaft (på tyska), Berlin : Zentrale fuer Wissenschaftliches Berichtswesen (127)
Glauert, H. (1928). "Effekten av kompressibilitet på lyftet av en aerofoil" . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 118 (779): 113–119. Bibcode : 1928RSPSA.118..113G . doi : 10.1098/rspa.1928.0039 . ISSN 1364-5021 .
Kuethe, Arnold Martin; Chow, Chuen-Yen (1976). Grunderna för aerodynamiken: grunderna för aerodynamisk design . Wiley. ISBN 978-0-471-50953-0 .
Meier, H.-U. (2005), "Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung" [Evolutionen av den svepande vingen, en teknisk utmaning] (PDF) , Ludwig Prandtl minnesföreläsning, GAMM 2005, 28 mars - 1 april 2005 (på tyska), Universität Luxemburg
Shapiro, Ascher H. (1953). Dynamiken och termodynamiken för komprimerbart vätskeflöde . Vol. 1. Wiley. ISBN 9780471066910 .
Truckenbrodt, Erich (1996). Fluidmechanik [ Fluid Mechanics ] (på tyska). Vol. 2 (4:e upplagan). Springer Verlag.