Schur-Zassenhaus sats

Schur –Zassenhaus-satsen är ett teorem inom gruppteorin som säger att om $G$ är en finit grupp och $N$ är en normal undergrupp vars ordning är coprime till ordningen för kvotgruppen $G/N$ , då är $G$ en halvdirekt produkt (eller split extension) av $N$ och $G/N$ . Ett alternativt påstående av satsen är att varje normal Hall-undergrupp $N$ i en finit grupp $G$ har ett komplement i $G$ . Om dessutom antingen $N$ eller $G/N$ är lösbara, så anger Schur–Zassenhaus-satsen också att alla komplement till $N$ i $G$ är konjugerade . Antagandet att antingen $N$ eller $G/N$ är lösbart kan släppas eftersom det alltid är uppfyllt, men alla kända bevis på detta kräver användningen av den mycket svårare Feit–Thompson-satsen .

Schur-Zassenhaus-satsen svarar åtminstone delvis på frågan: " Hur kan vi klassificera grupper med en viss uppsättning kompositionsfaktorer i en kompositionsserie ?" Den andra delen, som är där kompositionsfaktorerna inte har coprime-order, tas upp i extensionsteorin .

Historia

Schur–Zassenhaus-satsen introducerades av Zassenhaus ( 1937 , 1958 , kapitel IV, avsnitt 7). Sats 25, som han tillskriver Issai Schur , bevisar att det finns ett komplement, och sats 27 bevisar att alla komplement är konjugerade under antagandet att $N$ eller $G/N$ är lösbara. Det är inte lätt att hitta ett uttryckligt uttalande om förekomsten av ett komplement i Schurs publicerade verk, även om resultaten av Schur ( 1904 , 1907 ) på Schur-multiplikatorn antyder att det finns ett komplement i det speciella fallet när den normala undergruppen är i mitten. Zassenhaus påpekade att Schur-Zassenhaus-satsen för icke-lösliga grupper skulle följa om alla grupper av udda ordning är lösbara, vilket senare bevisades av Feit och Thompson. Ernst Witt visade att det också skulle följa av Schreier-förmodan (se Witt ( 1998 , s.277) för Witts opublicerade anteckning från 1937 om detta), men Schreier-förmodan har bara bevisats med hjälp av klassificeringen av ändliga enkla grupper, vilket är långt svårare än Feit-Thompson-satsen.

Exempel

Om vi ​​inte ställer på coprime-villkoret är satsen inte sann: betrakta till exempel den cykliska gruppen $C_{4}$ och dess normala undergrupp $C_{2}$ . Sedan om $C_{4}$ var en halvdirekt produkt av $C_{2}$ och $C_{4}/C_{2}\cong C_{2}$ sedan skulle $C_{4}$ behöva innehålla två element av ordning 2, men den innehåller bara ett. Ett annat sätt att förklara denna omöjlighet att dela upp $C_{4}$ (dvs uttrycka det som en halvdirekt produkt) är att observera att automorfismerna för C $\displaystyle C_{2}}$ är den triviala gruppen , så den enda möjliga [semi]direkta produkten av $C_{2}$ med sig själv är en direkt produkt (som ger upphov till Klein-fyragruppen , en grupp som är icke-isomorf med $C_ {4}$ ).

Ett exempel där Schur–Zassenhaus-satsen är tillämplig är den symmetriska gruppen på 3 symboler, ${\displaystyle S_{3}} ,$ som har en normal undergrupp av ordning 3 (isomorf med $C_{3}$ ) som i sin tur har index 2 i $S_{3}$ (i överensstämmelse med Lagranges sats ), så $S_{3}/C_{3}\ cong C_{2}$ . Eftersom 2 och 3 är relativt primtal gäller Schur–Zassenhaus-satsen och $S_{3}\cong C_{3}\rtider C_{2}$ . Observera att automorfismgruppen för $C_{3}$ är $C_{2}$ och automorfismen för $C_{3}$ som används i den halvdirekta produkten som ger upphov till $S_{3}$ är den icke-triviala automorfismen som permuterar de två icke-identitetselementen i $C_{3}$ . Dessutom, de tre undergrupperna av ordning 2 i $S_{3}$ (vilka som helst kan fungera som ett komplement till $C_{3}$ i $S_{3}$ ) är konjugerade till varandra.

Icke-trivialiteten i den (ytterligare) konjugationsslutsatsen kan illustreras med Klein-fyrgruppen $V$ som icke-exempel. Vilken som helst av de tre korrekta undergrupperna av $V$ (som alla har ordning 2) är normal i $V$ ; fixar en av dessa undergrupper, någon av de andra två återstående (riktiga) undergrupperna kompletterar den i $V$ , men ingen av dessa tre undergrupper av $V$ är en konjugat av någon annan, eftersom ${ \displaystyle V}$ är abelsk .

Kvaterniongruppen har normala undergrupper av ordning 4 och 2 men är inte en [halv]direkt produkt . Schurs artiklar i början av 1900-talet introducerade begreppet central förlängning för att ta upp exempel som $C_{4}$ och quaternionerna.

Bevis

Förekomsten av ett komplement till en normal Hall-undergrupp H i en finit grupp G kan bevisas i följande steg:

1. Genom induktion i storleksordningen G kan vi anta att det är sant för vilken mindre grupp som helst.
2. Om H är abelsk, så följer förekomsten av ett komplement av det faktum att kohomologigruppen H ² ( G / H , H ) försvinner (eftersom H och G / H har coprime-ordningar) och det faktum att alla komplement är konjugerade följer av försvinnandet av H ¹ ( G / H , H ).
3. Om H är lösbart har den en icke-trivial abelsk undergrupp A som är karakteristisk i H och därför normal i G . Att tillämpa Schur–Zassenhaus-satsen på G / A reducerar beviset till fallet när H = A är abelskt, vilket har gjorts i föregående steg.
4. Om normalisatorn N = N _G ( P ) för varje p -Sylow-undergrupp P av H är lika med G , då är H nilpotent, och i synnerhet lösbar, så satsen följer av föregående steg.
5. Om normalisatorn N = N _G ( P ) för någon p -Sylow-undergrupp P av H är mindre än G , så gäller genom induktion Schur-Zassenhaus-satsen för N , och ett komplement av N ∩ H i N är ett komplement till H i G eftersom G = NH .

•    Rotman, Joseph J. (1995). En introduktion till teorin om grupper . Examentexter i matematik. Vol. 148 (fjärde upplagan). New York: Springer–Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-4176-8 . ISBN 978-0-387-94285-8 . MR 1307623 .
•    Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstrakt algebra (tredje upplagan). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7 . MR 2286236 .
•    Gaschütz, Wolfgang (1952), "Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen", J. Reine Angew. Matematik. , 1952 (190): 93–107, doi : 10.1515/crll.1952.190.93 , MR 0051226 , S2CID 116597116
•    Rose, John S. (1978). En kurs i gruppteori . Cambridge-New York-Melbourne: Cambridge University Press. ISBN 0-521-21409-2 . MR 0498810 .
•    Isaacs, I. Martin (2008). Finita gruppteori . Forskarstudier i matematik . Vol. 92. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/gsm/092 . ISBN 978-0-8218-4344-4 . MR 2426855 .
•    Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004). Theory of Finita Groups: An Introduction . Universitext. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/b97433 . ISBN 0-387-40510-0 . MR 2014408 .
•    Humphreys, James E. (1996). En kurs i gruppteori . Oxford Science Publications. New York: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN 0-19-853459-0 . MR 1420410 .
• Schur, Issai (1904). "Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 127 : 20–50.
• Schur, Issai (1907). "Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 132 : 85–137.
•    Witt, Ernst (1998), Kersten, Ina (red.), Samlade papper. Gesammelte Abhandlungen , Springer Collected Works in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-41970-6 , ISBN 978-3-540-57061-5 , MR 164399
• Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie . Hamburger Mathematische Einzelschriften. Vol. 21. Leipzig och Berlin: Teubner. . Engelsk översättning:   Zassenhaus, Hans J. (1958) [1949], The theory of groups. (2:a upplagan), New York: Chelsea Publishing Company, MR 0091275