Schinzels teorem

I talens geometri är Schinzels teorem följande uttalande:

Schinzels sats — För varje givet positivt heltal $n$ finns det en cirkel i det euklidiska planet som passerar genom exakt $n$ heltalspunkter.

Det bevisades ursprungligen av och uppkallades efter Andrzej Schinzel .

Bevis

Cirka genom exakt fyra punkter som ges av Schinzels konstruktion

Schinzel bevisade detta teorem genom följande konstruktion. Om $n$ är ett jämnt tal, med $n=2k$ , så går cirkeln som ges av följande ekvation genom exakt $n$ punkter:

$$\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}5^{k-1}.$$

Denna cirkel har radien $5^{(k-1)/2}/2$ , och är centrerad vid punkten $({\tfrac {1}{2}},0)}$ . Till exempel visar figuren en cirkel med radien ${\sqrt {5}}/2$ fyra heltalspunkter

Som en ekvation av heltal, $\left(2x-1\right)^{2}+(2y)^{2}=5 ^{k-1}$ skriver $5^{k-1}$ som summan av två kvadrater , där den första är udda och den andra är jämn. Det finns exakt $4k$ sätt att skriva $5^{k-1}$ som summan av två kvadrater , och hälften är i ordningen (udda, jämn) efter symmetri. Till exempel, ${\displaystyle 5^{1}=(\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}} ,$ så vi har $2x-1=1$ eller $2x-1=-1$ och $2y=2$ eller $2y=-2$ , som producerar de fyra punkterna på bilden.

Å andra sidan, om $n$ är udda, med $n=2k+1$ , så går cirkeln som ges av följande ekvation genom exakt $n$ punkter :

$$\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}5^{2k}.$$

Denna cirkel har radien $5^{k}/3$ och är centrerad vid punkten $({\tfrac {1}{3}},0)$ .

Egenskaper

Cirklarna som genereras av Schinzels konstruktion är inte de minsta möjliga cirklarna som går genom det givna antalet heltalspunkter, men de har fördelen att de beskrivs med en explicit ekvation.