Schönhardt polyeder
Inom geometrin är Schönhardt -polyedern den enklaste icke-konvexa polyedern som inte kan trianguleras till tetraedrar utan att lägga till nya hörn. Den är uppkallad efter den tyske matematikern Erich Schönhardt , som beskrev den 1928. Samma polyedrar har också studerats i samband med Cauchys styvhetsteorem som ett exempel där polyedrar med två olika former har ytor av samma former.
Konstruktion
Ett sätt att konstruera Schönhardt-polyedern börjar med ett triangulärt prisma , med två parallella liksidiga trianglar som sina ytor. En av trianglarna roteras runt prismats mittlinje och bryter prismats fyrkantiga ytor i par av trianglar. Om vart och ett av dessa par väljs att vara icke-konvexa, är Schönhardt-polyedern resultatet.
Egenskaper
Schönhardt-polyedern har sex hörn, tolv kanter och åtta triangulära ytor. De sex hörnen i Schönhardt-polyedern kan användas för att bilda femton oordnade hörnpar. Tolv av dessa femton par bildar kanter på polyedern: det finns sex kanter i de två liksidiga triangelytorna och sex kanter som förbinder de två trianglarna. De återstående tre kanterna bildar diagonaler av polyederen, men ligger helt utanför polyedern.
Det konvexa skrovet på Schönhardt-polyedern är en annan polyeder med samma sex hörn och en annan uppsättning av tolv kanter och åtta triangulära ytor; som Schönhardt-polyedern är den kombinatoriskt ekvivalent med en vanlig oktaeder . Den symmetriska skillnaden mellan Schönhardt-polyedern består av tre tetraedrar, som var och en ligger mellan en av de konkava dihedriska kanterna på Schönhardt-polyedern och en av de yttre diagonalerna. Således kan Schönhardt-polyedern bildas genom att ta bort dessa tre tetraedrar från en konvex (men oregelbunden) oktaeder.
Omöjlighet till triangulering
Det är omöjligt att dela upp Schönhardt-polyedern i tetraedrar vars hörn är hörn av polyedern. Starkare är att det inte finns någon tetraeder som ligger helt inuti Schönhardt-polyedern och som har hörn av polyedern som sina fyra hörn. Detta följer av följande två egenskaper hos Schönhardt-polyedern:
- Varje triangel som bildas av dess kanter är en av dess ytor. Därför, eftersom det inte är en tetraeder i sig, måste varje tetraeder som bildas av fyra av dess hörn ha en kant som den inte delar med Schönhardt-polyedern.
- Varje diagonal som förbinder två av dess hörn men inte är en kant av Schönhardt-polyedern ligger utanför polyedern. Därför måste varje tetraeder som använder en sådan diagonal som en av sina kanter också ligga delvis utanför Schönhardt-polyedern.
Hoppande polyeder
I samband med teorin om flexibla polyedrar bildar förekomster av Schönhardt-polyedern en "hoppande polyeder": en polyeder som har två olika stela tillstånd, båda med samma ansiktsformer och samma orientering (konvex eller konkav) av varje kant. En modell vars yta är gjord av ett styvt men något deformerbart material, såsom kartong, kan fås att "hoppa" mellan de två formerna. En solid modell kunde inte ändra form på detta sätt. Det kunde inte heller en modell gjord av ett styvare material som glas: även om den kunde existera i någon av de två formerna, skulle den inte kunna deformeras tillräckligt för att röra sig mellan dem. Detta står i kontrast till Cauchys styvhetsteorem , enligt vilken det för varje konvex polyeder inte finns någon annan polyeder med samma ansiktsformer och kantorientering.
Relaterade konstruktioner
Det visades av Rambau (2005) att Schönhardt-polyedern kan generaliseras till andra polyedrar, kombinatoriskt likvärdiga med antiprismor , som inte kan trianguleras. Dessa polyedrar bildas genom att förbinda regelbundna k -goner i två parallella plan, vridna i förhållande till varandra, på ett sådant sätt att k av de 2 k kanter som förbinder de två k -gonerna har konkava dihedraler. För tillräckligt små vridningsvinklar har resultatet ingen triangulering. En annan polyeder som inte kan trianguleras är Jessens icosahedron , kombinatoriskt likvärdig med en vanlig icosahedron .
I en annan riktning konstruerade Bagemihl (1948) en polyeder som delar med Schönhardt-polyedern egenskapen att den inte har några inre diagonaler . Tetraedern och Császár-polyedern har inga diagonaler alls: varje par av hörn i dessa polyedrar bildar en kant . Det är fortfarande en öppen fråga om det finns några andra polyedrar (med grenrörsgräns ) utan diagonaler, även om det finns icke-grenrörsytor utan diagonaler och valfritt antal hörn större än fem.
Ansökningar
Ruppert & Seidel (1992) använde Schönhardts polyeder som grund för ett bevis på att den är NP-komplett för att avgöra om en icke-konvex polyeder kan trianguleras. Beviset använder många kopior av Schönhardt-polyedern, med dess övre yta borttagen, som prylar i en större polyeder. Varje triangulering av den övergripande polyedern måste inkludera en tetraeder som förbinder bottenytan på varje gadget med en vertex i resten av polyedern som kan se denna bottenyta. Det komplexa mönstret av hinder mellan tetraedrar av denna typ kan användas för att simulera booleska logikkomponenter i en reduktion från det booleska tillfredsställbarhetsproblemet .
externa länkar
- Tre icke-tetraedraliserbara objekt , D. Eppstein . Inkluderar en roterbar 3d-modell av Schönhardt-polyedern.