Császár polyeder

Császár polyhedron
En animation av Császár polyhedron som roteras och vecklas ut
Typ	Toroidformad polyeder
Ansikten	14 trianglar
Kanter	21
Vertices	7
Euler röding.	0 (släkte 1)
Vertex-konfiguration	3.3.3.3.3.3
Symmetrigrupp	C 1 , [ ] + , (11)
Dubbel polyeder	Szilassi polyeder
Egenskaper	Icke- konvex

I geometri är Császár-polyedern ( ungerska : [ˈt͡ʃaːsaːr] ) en icke-konvex toroidformad polyeder med 14 triangulära ytor .

Denna polyeder har inga diagonaler ; varje par av hörn är förbundna med en kant. De sju hörnen och 21 kanterna på Császár-polyedern bildar en inbäddning av hela grafen K ₇ på en topologisk torus . Av de 35 möjliga trianglarna från hörn på polyedern är bara 14 ytor.

Komplett graf

STL 3D-modell av en Császár-polyeder

Interaktiv ortografisk projektion av en Csaszar-polyeder. I SVG-bilden flyttar du musen åt vänster och höger för att rotera modellen.

Tetraedern och Császár-polyedern är de enda två kända polyedrarna (som har en mångfaldig gräns ) utan några diagonaler: varannan hörn av polygonen är sammankopplad med en kant, så det finns inget linjesegment mellan två hörn som inte ligger på polyedern gräns. Det vill säga, hörn och kanter av Császár-polyedern bildar en komplett graf .

Den kombinatoriska beskrivningen av denna polyeder har beskrivits tidigare av Möbius. Ytterligare tre olika polyedrar av denna typ kan hittas i en artikel av Bokowski, J. och Eggert, A.

Om gränsen för en polyeder med v hörn bildar en yta med h hål, på ett sådant sätt att varje par hörn är sammankopplade med en kant, följer det av någon manipulation av Euler- karaktäristiken som

$$h={\frac {(v-3)(v-4)}{12}}.$$

Denna ekvation är uppfylld för tetraedern med h = 0 och v = 4, och för Császár-polyedern med h = 1 och v = 7. Nästa möjliga lösning, h = 6 och v = 12, skulle motsvara en polyeder med 44 ytor och 66 kanter, men det är inte realiserbart som en polyeder. Det är inte känt om en sådan polyeder existerar med ett högre släkte ( Ziegler 2008) .

Mer generellt kan denna ekvation uppfyllas endast när v är kongruent med 0, 3, 4 eller 7 modulo 12 ( Lutz 2001 ).

Historia och relaterade polyedrar

Császár-polyedern är uppkallad efter den ungerske topologen Ákos Császár , som upptäckte den 1949. Dualen till Császár-polyedern, Szilassi-polyedern , upptäcktes senare, 1977, av Lajos Szilassi ; den har 14 hörn, 21 kanter och sju sexkantiga ytor, som var och en delar en kant med varannan yta. Liksom Császár-polyedern har Szilassi-polyedern topologin av en torus.

Det finns andra kända polyedrar som Schönhardt-polyedern för vilka det inte finns några inre diagonaler (det vill säga alla diagonaler är utanför polyhedronen) samt icke-manifoldytor utan diagonaler (Szabó 1984 , 2009 ).

• Császár, A. (1949), "En polyeder utan diagonaler" (PDF) , Acta Sci. Matematik. Szeged , 13 : 140–142, arkiverad från originalet (PDF) 2017-09-18.
•   Gardner, Martin (1988), Time Travel and Other Mathematical Bewilderments , WH Freeman and Company, s. 139–152 , Bibcode : 1988ttom.book.....G , ISBN 0-7167-1924-X
•   Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American , WH Freeman and Company, s. 118–120, ISBN 0-7167-2188-0
• Lutz, Frank H. (2001), "Császár's Torus" , Electronic Geometry Models : 2001.02.069 .
•   Szabó, Sándor (1984), "Polyhedra utan diagonaler", Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41–49, doi : 10.1007/BF02109370 , S2CID 189834222 .
•   Szabó, Sándor (2009), "Polyhedra utan diagonaler II", Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, doi : 10.1007/s10998-009-10181-x , S2CID 45731540 .
• Ziegler, Günter M. (2008), "Polyhedral Surfaces of High Genus", i Bobenko, AI; Schröder, P.; Sullivan, JM ; Ziegler, GM (red.), Discrete Differential Geometry    s. 191–213, arXiv : math.MG/0412093 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8691 - ID 1,5910-4 , Oberwolfach Seminars, vol. 38, Springer-Verlag ,

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Csaszar Polyhedron" . MathWorld .
• Császárs polyeder i virtuell verklighet i NeoTrie VR.