Sasakian grenrör

I differentialgeometri är ett sasakiskt grenrör (uppkallat efter Shigeo Sasaki ) ett kontaktgrenrör $(M,\theta )$ utrustad med en speciell typ av Riemannisk metrisk $g$ , kallad en sasakian metrisk.

Definition

En sasakisk metrik definieras med konstruktionen av den riemannska konen . Givet ett Riemann-grenrör $(M,g)$ är dess Riemann-kon produkten

$(M\times {\mathbb {R} }^{>0})\,$

av $M$ med en halvlinje ${\mathbb {R} }^{>0}$ , utrustad med konmetriken

$t^{2}g+dt^{2},\,$

där $t$ är parametern i ${\mathbb {R} }^{>0}$ .

En grenrör $M$ utrustad med en 1-form $\theta$ är kontakt om och endast om 2-formen

$t^{2}\,d\theta +2t\,dt\cdot \theta \,$

på sin kon är symplektisk (detta är en av de möjliga definitionerna av en kontaktstruktur). Ett Riemann-kontaktgrenrör är Sasakian, om dess Riemann-kon med konmetriken är ett Kähler-grenrör med Kähler-form

$t^{2}\,d\theta +2t\,dt\cdot \theta .$

Exempel

Tänk som ett exempel

$S^{2n-1}\hookrightarrow {\mathbb {R} }^{2n,*}={\mathbb {C} }^ {n,*}$

där den högra sidan är ett naturligt Kähler-grenrör och läses som konen över sfären (försett med inbäddad metrik). Kontakt 1-formen på $S^{2n-1}$ är formen associerad med tangentvektorn ${\displaystyle i{\vec {N}}} ,$ konstruerad från enheten -normal vektor ${\vec {N}}$ till sfären ( $i$ är den komplexa strukturen på ${\mathbb {C} }^{n}$ ).

Ett annat icke-kompakt exempel är ${{\mathbb {R} }^{2n+1}}$ med koordinater $\displaystyle ({\vec {x }},{\vec {y}},z)}$ utrustad med kontaktformulär

$\theta ={\frac {1}{2}}dz+\sum _{i}y_{i}\,dx_{i}$

och den riemannska metriken

$g=\sum _{i}(dx_{i})^{2}+(dy_{i})^{2}+\theta ^{2}.$

Tänk som ett tredje exempel:

${\mathbb {P} }^{2n-1}{\mathbb {R} }\hookrightarrow {\mathbb {C} }^{n, *}/{\mathbb {Z} }_{2}$

där den högra sidan har en naturlig Kähler-struktur, och gruppen ${\mathbb {Z} }_{2}$ verkar genom reflektion vid origo.

Historia

Sasakiska grenrör introducerades 1960 av den japanska geometern Shigeo Sasaki . Det var inte mycket aktivitet på detta område efter mitten av 1970-talet, fram till tillkomsten av strängteorin . Sedan dess har sasakiska grenrör fått framträdande plats i fysik och algebraisk geometri, mestadels på grund av en rad artiklar av Charles P. Boyer och Krzysztof Galicki och deras medförfattare.

Reeb vektorfält

Det homotetiska vektorfältet på konen över ett sasakiskt grenrör definieras som

$t\partial /\partial t.$

Eftersom konen per definition är Kähler, finns det en komplex struktur J . Reeb -vektorfältet på Sasaskians grenrör definieras som

$\xi =-J(t\partial /\partial t).$

Det försvinner ingenstans. Den pendlar med alla holomorfa dödande vektorer på konen och i synnerhet med alla isometrier i Sasakian-grenröret. Om vektorfältets banor stänger så är omloppsutrymmet en Kähler-bana. Reeb-vektorfältet vid Sasakian-grenröret vid enhetsradie är ett enhetsvektorfält och tangentiellt till inbäddningen.

Sasaki–Einstein-grenrör

Ett sasakiskt grenrör $M$ är ett grenrör vars riemannska kon är Kähler. Om denna kon dessutom är Ricci-platt kallas $M$ Sasaki–Einstein ; om det är hyperkähler kallas $M}$ displaystyle 3-Sasakian . Varje 3-Sasakian grenrör är både ett Einstein grenrör och ett spin grenrör.

Om M är positiv-skalär-krökning Kahler–Einstein mångfaldig, då, genom en observation av Shoshichi Kobayashi , tillåter cirkelknippet S i dess kanoniska linjebunt en Sasaki–Einstein-metrik, på ett sätt som gör projektionen från S till M till en riemannsk nedsänkning. (Till exempel följer det att det finns Sasaki–Einstein-mått på lämpliga cirkelbuntar över 3:e till 8:e del Pezzo-ytorna .) Även om denna Riemannska nedsänkningskonstruktion ger en korrekt lokal bild av alla Sasaki-Einstein-grenrör, men den globala strukturen hos sådana grenrör kan vara mer komplicerat. Till exempel kan man mer allmänt konstruera Sasaki-Einstein-grenrör genom att utgå från en Kahler-Einstein- kretslopp M. Med denna observation konstruerade Boyer, Galicki och János Kollár oändligt många homeotyper av Sasaki-Einstein-5-grenrör. Samma konstruktion visar att modulutrymmet för Einstein-mått på 5-sfären har åtminstone flera hundra sammankopplade komponenter.

Anteckningar

• Shigeo Sasaki , "Om differentierbara grenrör med vissa strukturer som är nära besläktade med nästan kontaktstruktur", Tohoku Math. J. 2 (1960), 459-476.
• Charles P. Boyer , Krzysztof Galicki, sasakisk geometri
• Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki, " 3-Sasakian Manifolds ", Surveys Diff. Geom. 7 (1999) 123-184
• Dario Martelli, James Sparks och Shing-Tung Yau , " Sasaki-Einstein Manifolds and Volume Minimization ", ArXiv hep-th/0603021

externa länkar

• EoM-sida, Sasakian-manifold