Sannolikhet för poker

I poker kan sannolikheten för varje typ av 5-kortshand beräknas genom att beräkna andelen händer av den typen bland alla möjliga händer.

Historia

Sannolikhet och spel har varit idéer sedan långt innan pokerns uppfinning. Utvecklingen av sannolikhetsteorin i slutet av 1400-talet tillskrevs hasardspel ; när de spelade ett spel med höga insatser ville spelarna veta vad chansen att vinna skulle vara. År 1494 släppte Fra Luca Paccioli sitt verk Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalita som var den första skrivna texten om sannolikhet. Motiverad av Pacciolis arbete Girolamo Cardano (1501-1576) ytterligare utvecklingar inom sannolikhetsteorin. Hans arbete från 1550, med titeln Liber de Ludo Aleae , diskuterade sannolikhetsbegreppen och hur de var direkt relaterade till hasardspel. Hans verk fick dock inget omedelbart erkännande eftersom det inte publicerades förrän efter hans död. Blaise Pascal (1623-1662) bidrog också till sannolikhetsteorin. Hans vän, Chevalier de Méré, var en ivrig spelare med målet att bli rik av det. De Méré provade ett nytt matematiskt tillvägagångssätt för ett hasardspel men fick inte de önskade resultaten. Fast besluten att veta varför hans strategi misslyckades, rådgjorde han med Pascal. Pascals arbete med detta problem började en viktig korrespondens mellan honom och matematikern Pierre de Fermat (1601-1665). De två kommunicerade genom brev och fortsatte att utbyta sina idéer och tankar. Dessa interaktioner ledde till uppfattningen om grundläggande sannolikhetsteori. Än idag förlitar sig många spelare fortfarande på de grundläggande begreppen sannolikhetsteorin för att kunna fatta välgrundade beslut medan de spelar.

Frekvenser

5-korts pokerhänder

Ett Euler-diagram som visar pokerhänder och deras odds från en typisk amerikansk 9/6 Jacks or Better- maskin

I straight poker och femkortsdragning , där det inte finns några hålkort , får spelarna helt enkelt fem kort från en kortlek med 52.

Följande tabell räknar upp den (absoluta) frekvensen för varje hand, givet alla kombinationer av fem kort som dras slumpmässigt från en hel kortlek på 52 utan ersättning. Wild cards beaktas inte. I det här diagrammet:

Distinkta händer är antalet olika sätt att rita handen, utan att räkna olika färger.
Frekvens är antalet sätt att dra handen, inklusive samma kortvärden i olika färger.
Sannolikheten att dra en given hand beräknas genom att dividera antalet sätt att dra handen ( Frekvens ) med det totala antalet 5-kortshänder ( provutrymmet ; ( $\textstyle { 52 \choose 5}=2 598 960}$ ). Till exempel finns det 4 olika sätt att dra en royal färg (en för varje färg), så sannolikheten är 4 / 2 598 960 , eller en på 649 740. Man skulle då förvänta sig att dra denna hand ungefär en gång i varje 649 740 drag, eller nästan 0,00000154% av gångerna.
Kumulativ sannolikhet hänvisar till sannolikheten att dra en hand lika bra som eller bättre än den angivna. Till exempel är sannolikheten för att dra trissar ungefär 2,11 %, medan sannolikheten för att dra en hand som är minst lika bra som tre lika är ungefär 2,87 %. Den kumulativa sannolikheten bestäms genom att addera en hands sannolikhet med sannolikheterna för alla händer ovanför.
Oddsen definieras som förhållandet mellan antalet sätt att inte dra handen, och antalet sätt att dra den. I statistiken kallas detta odds mot . Till exempel, med en royal färg, finns det 4 sätt att dra en och 2 598 956 sätt att dra något annat, så oddsen mot att dra en royal färg är 2 598 956 : 4 eller 649 739 : 1. Formeln för att fastställa oddsen kan också anges som (1/p) - 1 : 1 , där p är den tidigare nämnda sannolikheten.
Värdena som ges för Sannolikhet , Kumulativ sannolikhet och Odds är avrundade för enkelhets skull; de distinkta händerna och frekvensvärdena är exakta.

nCr - funktionen på de flesta vetenskapliga miniräknare kan användas för att beräkna handfrekvenser; inmatning av nCr med 52 och 5 ger till exempel ${\textstyle {52 \choose 5}=2,598,960}$ enligt ovan.

Hand	Distinkta händer	Frekvens	Sannolikhet	Kumulativ sannolikhet	Odds mot	Matematiskt uttryck för absolut frekvens
Royal Flush	1	4	0,000154 %	0,000154 %	649 739: 1	${4 \choose 1}$
Straight flush (exklusive royal flush)	9	36	0,00139 %	0,0015 %	72 192,33: 1	${10 \choose 1}{4 \choose 1}-{4 \choose 1}$
Fyra av ett slag	156	624	0,02401 %	0,0256 %	4 165:1	${13 \choose 1}{4 \choose 4}{12 \choose 1}{4 \choose 1}$
Fullt hus	156	3,744	0,1441 %	0,17 %	693.1667: 1	${13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 1}{4 \choose 2}$
Flush (exklusive royal flush och straight flush)	1 277	5,108	0,1965 %	0,367 %	508.8019: 1	${13 \choose 5}{4 \choose 1}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}$
Straight (exklusive royal flush och straight flush)	10	10 200	0,3925 %	0,76 %	253,8: 1	${10 \choose 1}{4 \choose 1}^{5}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}$
Tre av en sort	858	54,912	2,1128 %	2,87 %	46.32955: 1	${13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}$
Två par	858	123,552	4,7539 %	7,62 %	20,03535: 1	${13 \choose 2}{4 \choose 2}^{2}{11 \choose 1}{4 \choose 1}$
Ett par	2,860	1 098 240	42,2569 %	49,9 %	1,366477: 1	${13 \choose 1}{4 \choose 2}{12 \choose 3}{4 \choose 1}^{3}$
Inget par /högt kort	1 277	1,302,540	50,1177 %	100 %	0,9953015: 1	$\left[{13 \choose 5}-{10 \choose 1}\right]\left[{4 \choose 1}^{5}-{4 \choose 1}\right]$
Total	7,462	2,598,960	100 %	---	0:1	${52 \choose 5}$

Royal flush är ett fall av straight flush. Det kan bildas på 4 sätt (en för varje färg), vilket ger den en sannolikhet på 0,000154% och oddset 649,739 : 1.

När stege med ess-låg och stege med ess-låg inte räknas, reduceras sannolikheterna för var och en: stege och stege blir var och en 9/10 lika vanliga som de annars skulle vara. De 4 missade stegorna blir färgningar och de 1 020 missade stegorna blir inget par.

Observera att eftersom färger inte har något relativt värde i poker, kan två händer anses vara identiska om en hand kan förvandlas till den andra genom att byta färg. Till exempel, handen 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ är identisk med 3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥ eftersom att ersätta alla klöverna i första handen med ruter och alla spader med hjärter ger den andra hand. Så eliminerar identiska händer som ignorerar relativa färgvärden, det finns bara 134 459 distinkta händer.

Antalet distinkta pokerhänder är ännu mindre. Till exempel, 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ och 3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥ är inte identiska händer när man bara ignorerar färgtilldelningar eftersom en hand har tre färger, medan den andra handen bara har två – den skillnaden kan påverka det relativa värdet av varje hand när det kommer fler kort. Men även om händerna inte är identiska ur det perspektivet, bildar de fortfarande likvärdiga pokerhänder eftersom varje hand är en AQ-8-7-3 högkortshand. Det finns 7 462 olika pokerhänder.

7-korts pokerhänder

I några populära varianter av poker som Texas hold 'em , den mest utbredda pokervarianten totalt sett, använder en spelare den bästa femkorts pokerhanden av sju kort.

Frekvenserna beräknas på ett sätt som liknar det som visas för 5-kortshänder, förutom att ytterligare komplikationer uppstår på grund av de extra två korten i 7-korts pokerhanden. Det totala antalet distinkta 7-kortshänder är ${\textstyle {52 \choose 7}=133,784,560}$ . Det är anmärkningsvärt att sannolikheten för en no-par hand är lägre än sannolikheten för en ett-par eller två-par hand.

En ess-hög straight flush eller royal flush är något mer frekvent (4324) än de lägre stege färgerna (4140 vardera) eftersom de återstående två korten kan ha vilket värde som helst; En straight flush med kung hög, till exempel, kan inte ha ess i sin färg i handen (eftersom det skulle göra det ess-högt istället).

Hand	Frekvens	Sannolikhet	Kumulativ	Odds mot	Matematiskt uttryck för absolut frekvens
Royal Flush	4,324	0,0032 %	0,0032 %	30 940:1	${4 \choose 1}{47 \choose 2}$
Straight flush (exklusive royal flush)	37 260	0,0279 %	0,0311 %	3 589,6: 1	${9 \choose 1}{4 \choose 1}{46 \choose 2}$
Fyra av ett slag	224,848	0,168 %	0,199 %	594: 1	${13 \choose 1}{48 \choose 3}$
Fullt hus	3,473,184	2,60 %	2,80 %	37,5: 1	${\begin{aligned}&\left[{13 \choose 2}{4 \choose 3}^{2}{44 \choose 1}\right ]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}^{2}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 1}{11 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}\right]\end{aligned}}$
Flush (exklusive royal flush och straight flush)	4,047,644	3,03 %	5,82 %	32,1: 1	${\begin{aligned}&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 7}-217\right]\right]\\+&\left[{ 4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 6}-71\right]\times 39\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 5 }-10\right]\ gånger {39 \choose 2}\right]\end{aligned}}$
Straight (exklusive royal flush och straight flush)	6 180 020	4,62 %	10,4 %	20.6: 1	${\ start{aligned}&\left[217\times \left[4^{7}-756-4-84\right]\right]\\+&{}\left[71\times 36\times 990\right] \\+&\left[10\times 5\times 4\times \left[256-3\right]+10\times {5 \choose 2}\times 2268\right]\end{aligned}}$
Tre av en sort	6,461,620	4,83 %	15,3 %	19,7: 1	$\left[{13 \choose 5}-10\right]{5 \choose 1}{4 \choose 1}\left[{4 \choose 1}^{4}-3\right]$
Två par	31 433 400	23,5 %	38,8 %	3,26: 1	${\begin{aligned}&\left[1277\ gånger 10\ gånger \vänster[6\ gånger 62+24\ gånger 63+6\ gånger 64\höger]\höger]\\+&\vänster[{13 \välj 3}{4 \välj 2}^{3} {40 \choose 1}\right]\end{aligned}}$
Ett par	58 627 800	43,8 %	82,6 %	1,28: 1	$\left[{13 \choose 6}-71\right]\times 6\times 6\times 990$
Inget par /högt kort	23,294,460	17,4 %	100 %	4,74: 1	$1499\times \left[4^{7}-756-4-84\right]$
Total	133,784,560	100 %	---	0:1	${52 \choose 7}$

(De angivna frekvenserna är exakta, sannolikheterna och oddsen är ungefärliga.)

Eftersom färger inte har något relativt värde i poker, kan två händer anses vara identiska om en hand kan förvandlas till den andra genom att byta färg. Att eliminera identiska händer som ignorerar relativa färgvärden lämnar 6 009 159 distinkta 7-kortshänder.

Antalet distinkta 5-korts pokerhänder som är möjliga från 7 kort är 4 824. Kanske överraskande är detta färre än antalet 5-korts pokerhänder från 5 kort, eftersom vissa 5-kortshänder är omöjliga med 7 kort (t.ex. 7-höga och 8-höga).

5-korts lowball pokerhänder

Vissa varianter av poker, kallade lowball , använder en låg hand för att avgöra den vinnande handen. I de flesta varianter av lowball räknas ess som det lägsta kortet och stegar och färger räknas inte mot en låg hand, så den lägsta handen är den femhöga handen A-2-3-4-5 , även kallad en hjul . Sannolikheten beräknas utifrån ${\textstyle {52 \choose 5}=2 598 960}$ , det totala antalet 5-kortskombinationer. (De angivna frekvenserna är exakta, sannolikheterna och oddsen är ungefärliga.)

Hand	Distinkta händer	Frekvens	Sannolikhet	Kumulativ	Odds mot
5-hög	1	1 024	0,0394 %	0,0394 %	2 537,05: 1
6-hög	5	5 120	0,197 %	0,236 %	506,61: 1
7-hög	15	15 360	0,591 %	0,827 %	168,20: 1
8-hög	35	35,840	1,38 %	2,21 %	71,52: 1
9-hög	70	71 680	2,76 %	4,96 %	35,26: 1
10-hög	126	129 024	4,96 %	9,93 %	19.14: 1
Jack-hög	210	215 040	8,27 %	18,2 %	11.09: 1
Queen-high	330	337,920	13,0 %	31,2 %	6,69: 1
Kung-hög	495	506,880	19,5 %	50,7 %	4.13: 1
Total	1 287	1,317,888	50,7 %	50,7 %	0,97:1

Som framgår av tabellen får en spelare drygt halva tiden en hand som inte har några par, treor eller fyror. (50,7 %)

Om ess inte är låga, rotera helt enkelt handbeskrivningarna så att 6-hög ersätter 5-hög för bästa hand och ess-hög ersätter kung-hög som sämsta hand.

Vissa spelare ignorerar inte stegar och färger när de beräknar den låga handen i lowball. I det här fallet är den lägsta handen A-2-3-4-6 med minst två färger. Sannolikheter är justerade i tabellen ovan så att "5-hög" inte är listad, "6-hög" har en distinkt hand respektive "Kung-hög" med 330 distinkta händer. Totallinjen behöver också justeras.

7-korts lowball pokerhänder

låghanden med fem kort som väljs bland sju kort. I de flesta varianter av lowball räknas ess som det lägsta kortet och stegar och färger räknas inte mot en låg hand, så den lägsta handen är den femhöga handen A-2-3-4-5 , även kallad en hjul . Sannolikheten beräknas utifrån ${\textstyle {52 \choose 7}=133 784 560} ,$ det totala antalet 7-kortskombinationer.

Tabellen omfattar inte femkortshänder med minst ett par. Dess "Total" representerar 95,4 % av tiden som en spelare kan välja en låg hand med 5 kort utan något par.

Hand	Frekvens	Sannolikhet	Kumulativ	Odds mot
5-hög	781,824	0,584 %	0,584 %	170,12: 1
6-hög	3,151,360	2,36 %	2,94 %	41,45: 1
7-hög	7,426,560	5,55 %	8,49 %	17.01: 1
8-hög	13 171 200	9,85 %	18,3 %	9.16: 1
9-hög	19 174 400	14,3 %	32,7 %	5,98: 1
10-hög	23,675,904	17,7 %	50,4 %	4,65: 1
Jack-hög	24,837,120	18,6 %	68,9 %	4,39: 1
Queen-high	21,457,920	16,0 %	85,0 %	5,23: 1
Kung-hög	13 939 200	10,4 %	95,4 %	8,60: 1
Total	127,615,488	95,4 %	95,4 %	0,05 : 1

(De angivna frekvenserna är exakta, sannolikheterna och oddsen är ungefärliga.)

Om ess inte är låga, rotera helt enkelt handbeskrivningarna så att 6-hög ersätter 5-hög för bästa hand och ess-hög ersätter kung-hög som sämsta hand.

Vissa spelare ignorerar inte stegar och färger när de beräknar den låga handen i lowball. I det här fallet är den lägsta handen A-2-3-4-6 med minst två färger. Sannolikheter är justerade i tabellen ovan så att "5-hög" inte är listad, "6-hög" har 781 824 distinkta händer och "Kung-hög" har 21 457 920 distinkta händer, respektive. Totallinjen behöver också justeras.

Se även

externa länkar