STAR modell

Ej att förväxla med stjärnschema .

Exponentiell övergångsfunktion för ESTAR-modellen med $z_{t}$ varierande från -10 till +10 och $\zeta$ - från 0 till 1.

Inom statistik används Smooth Transition Autoregressive ( STAR ) -modeller vanligtvis på tidsseriedata som en förlängning av autoregressiva modeller , för att möjliggöra högre grad av flexibilitet i modellparametrar genom en mjuk övergång .

Givet en tidsserie av data x _t är STAR-modellen ett verktyg för att förstå och kanske förutsäga framtida värden i denna serie, förutsatt att seriens beteende förändras beroende på värdet på övergångsvariabeln . Övergången kan bero på tidigare värden för x -serien (liknande SETAR-modellerna ) eller exogena variabler.

Modellen består av 2 autoregressiva (AR) delar kopplade av övergångsfunktionen. Modellen hänvisas vanligtvis till som STAR ( p ) modellerna med bokstaven som beskriver övergångsfunktionen (se nedan) och p är ordningen för den autoregressiva delen. De mest populära övergångsfunktionerna inkluderar exponentiell funktion och logistiska funktioner av första och andra ordningen. De ger upphov till modellerna Logistic STAR ( LSTAR ) och Exponential STAR ( ESTAR ).

Definition

Autoregressiva modeller

Betrakta en enkel AR( p ) modell för en tidsserie y _t

$y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p }y_{tp}+\epsilon _{t}.\,$

var:

$\gamma _{i}\,$ för i =1,2,..., p är autoregressiva koefficienter som antas vara konstanta över tiden;

$\epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;\sigma ^{2})\,$ står för vitbrusfelterm med konstant varians .

skrivet i följande vektorform:

$y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,$

var:

$\mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2 },\ldots ,y_{tp})\,$ är en kolumnvektor av variabler;

$\gamma \,$ är vektorn av parametrar: $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,$ ;

$\epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;1)\,$ står för white-noise felterm med konstant varians .

Exponentiell övergångsfunktion för ESTAR-modellen med $z_{t}$ varierande från -10 till +10, $\zeta$ från 0 till 1 och två exponentialrötter ( $c_{1 }$ och $c_{2}$ ) lika med -7 och +3.

STAR som en förlängning av den autoregressiva modellen

STAR-modeller introducerades och utvecklades omfattande av Kung-sik Chan och Howell Tong 1986 (särskilt s. 187), där samma akronym användes. Det står ursprungligen för Smooth Threshold AutoRegressive. För lite bakgrundshistoria, se Tong (2011, 2012). zt _{autoregressiva} modeller som diskuterats ovan, vilket tillåter förändringar i modellparametrarna enligt värdet av en övergångsvariabel . Chan och Tong (1986) bevisade rigoröst att familjen av STAR-modeller inkluderar SETAR-modellen som ett begränsande fall genom att visa den enhetliga avgränsningen och ekvikontinuiteten med avseende på omkopplingsparametern. Utan detta bevis saknar det motivering att säga att STAR-modeller kapslar SETAR-modellen. Huruvida man ska använda en SETAR-modell eller en STAR-modell för sin data har tyvärr varit en fråga om subjektivt omdöme, smak och böjelse i mycket av litteraturen. Lyckligtvis är testproceduren, baserad på David Coxs test av separata hypotesfamiljer och utvecklad av Gao, Ling och Tong (2018, Statistica Sinica, volym 28, 2857-2883) nu tillgänglig för att lösa detta problem. Ett sådant test är viktigt innan man antar en STAR-modell eftersom, bland annat, parametern som styr dess växlingshastighet är notoriskt datahungrig.

Definierat på detta sätt kan STAR-modellen presenteras enligt följande:

$y_{t}=\mathbf {X_{t}} +G(z_{t},\zeta ,c)\mathbf {X_{t}} +\sigma ^{(j)}\epsilon _{t}\,$

var:

$X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2}, ...,y_{tp})\,$ är en kolumnvektor av variabler;

$G(z_{t},\zeta ,c)$ är övergångsfunktionen avgränsad mellan 0 och 1.

Grundläggande struktur

De kan förstås som två-regims SETAR-modell med smidig övergång mellan regimer, eller som kontinuum av regimer. I båda fallen är förekomsten av övergångsfunktionen den definierande egenskapen hos modellen eftersom den tillåter förändringar i parametrarnas värden.

Övergångsfunktion

Logistisk övergångsfunktion för ESTAR-modellen med $z_{t}$ varierande från -10 till +10 och $\zeta$ - från 0 till 1. Beräknat med GNU R-paket.

Tre grundläggande övergångsfunktioner och namnet på resulterande modeller är:

• första ordningens logistisk funktion - resulterar i Logistic STAR ( LSTAR ) modell:

${\displaystyle G (z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c)))^{-1},\zeta >0} exponentiell funktion - resulterar i Exponential STAR$

• ( ESTAR ) modell:

$G(z_{t},\zeta ,c)=1- exp(-\zeta (z_{t}-c)^{2}),\zeta >0$

• andra ordningens logistiska funktion:

$G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c_) {1})(z_{t}-c_{2})))^{-1},\zeta >0$

Se även

• Karakteriseringar av exponentialfunktionen
• Exponentiell tillväxt
• Exponentiering
• Generaliserad logistisk funktion
• Logistisk distribution
• SETAR modeller

• Chan, KS; Tong, H. (1986). "Om att uppskatta trösklar i autoregressiva modeller". Journal of Time Series Analysis . 7 (3): 178–190. doi : 10.1111/j.1467-9892.1986.tb00501.x .
• Van Dijk, D.; Teräsvirta, T.; Franses, PH (2002). "Autoregressiva modeller för mjuk övergång - en undersökning av den senaste utvecklingen" . Ekonometriska recensioner . 21 (1): 1–47. doi : 10.1081/ETC-120008723 . hdl : 1765/1656 .
• Tong, H. (2011). "Tröskelmodeller i tidsserieanalys – 30 år senare (med diskussioner av P. Whittle, M. Rosenblatt, BE Hansen, P. Brockwell, NI Samia & F. Battaglia)" (PDF ) . Statistik och dess gränssnitt . 4 (2): 107–118. doi : 10.4310/SII.2011.v4.n2.a1 .
• Hansen, BE (2011). "Tröskel autoregression i ekonomi" (PDF) . Statistik och dess gränssnitt . 4 (2): 123–127. doi : 10.4310/sii.2011.v4.n2.a4 .
• Tong, H. (2012). "Diskussion om 'En analys av global uppvärmning i den alpina regionen baserad på icke-linjära icke-stationära tidsseriemodeller' av Battaglia och Protopapa" ( PDF) . Statistiska metoder och tillämpningar . 21 (3): 335–339. doi : 10.1007/s10260-012-0196-1 .