Generaliserad logistisk funktion

A=0, K=1, B=3, Q=ν=0,5, M=0, C=1

Effekt av att variera parameter A. Alla andra parametrar är 1.

Effekt av att variera parameter B. A = 0, alla andra parametrar är 1.

Effekt av att variera parameter C. A = 0, alla andra parametrar är 1.

Effekt av att variera parameter K. A = 0, alla andra parametrar är 1.

Effekt av att variera parameter Q. A = 0, alla andra parametrar är 1.

Effekt av att variera parametern

\nu

. A = 0, alla andra parametrar är 1.

Den generaliserade logistiska funktionen eller kurvan är en förlängning av logistik- eller sigmoidfunktionerna . Ursprungligen utvecklad för tillväxtmodellering möjliggör den mer flexibla S-formade kurvor. Funktionen kallas ibland Richards kurva efter FJ Richards , som föreslog den allmänna formen för modellfamiljen 1959.

Definition

Richards kurva har följande form:

Y(t)=A+{KA \över (C+Qe^{-Bt})^{1/\ nu }}

där $Y$ = vikt, höjd, storlek etc., och $t$ = tid. Den har fem parametrar:

$A$ : den nedre (vänster) asymptoten;
$K$ : den övre (höger) asymptoten när $C=1$ . Om $A=0$ och $C=1$ så kallas ${\displaystyle K} för$ bärkraft ;
$B$ : tillväxthastigheten;
$\nu >0$ : påverkar nära vilken asymptot maximal tillväxt inträffar.
$Q$ : är relaterat till värdet $Y(0)$
$C$ : tar vanligtvis värdet 1. Annars är den övre asymptoten $A+{KA \over C^{\,1/\nu }}$

Ekvationen kan också skrivas:

Y(t)=A+{KA \over (C+e^{-B(tM)} )^{1/\nu }}

där $M$ kan ses som en starttid, vid vilken $Y(M)=A+{KA \over ( C+1)^{1/\nu }}$ . Att inkludera både $Q$ och $M$ kan vara bekvämt:

Y(t)=A+{KA \over (C+Qe^{-B(tM) })^{1/\nu }}

denna representation förenklar inställningen av både en starttid och värdet på $Y$ vid den tiden.

Den logistiska funktionen , med maximal tillväxthastighet vid tidpunkten $M$ , är fallet där $Q=\nu =1$ .

Generaliserad logistisk differentialekvation

Ett särskilt fall av den generaliserade logistiska funktionen är:

Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_ {0})})^{1/\nu }}

som är lösningen av Richards differentialekvation (RDE):

Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}} \right)^{\nu }\right)Y

med initialt skick

Y(t_{0})=Y_{0}

var

Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }

förutsatt att ν > 0 och α > 0.

Den klassiska logistiska differentialekvationen är ett speciellt fall av ovanstående ekvation, med ν =1, medan Gompertz-kurvan kan återställas i gränsen $\nu \rightarrow 0^{+}$ förutsatt att:

\alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)

I själva verket är det för litet ν

Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1 -\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{ K}}\höger)

RDE modellerar många tillväxtfenomen som uppstår inom områden som onkologi och epidemiologi.

Gradient av generaliserad logistisk funktion

Vid uppskattning av parametrar från data är det ofta nödvändigt att beräkna logistikfunktionens partiella derivator med avseende på parametrar vid en given datapunkt t {\ $t}$ (se). För fallet där $C=1$ ,

{\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(tM)})^{ -1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(tM)})^{-1/\nu }\\\ \{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(KA)(tM)Qe^{-B(tM)}}{\nu (1+Qe^{-B(tM) )})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(KA)\ ln(1+Qe^{-B(tM)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(tM)})^{\frac {1}{\nu }}}}\ \\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(KA)e^{-B(tM)}}{\nu (1+Qe^{-B(tM) )})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(KA)QBe ^{-B(tM)}}{\nu (1+Qe^{-B(tM)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned} }

Speciella fall

Följande funktioner är specifika fall av Richards kurvor:

Fotnoter

Richards, FJ (1959). "En flexibel tillväxtfunktion för empiriskt bruk". Journal of Experimental Botany . 10 (2): 290–300. doi : 10.1093/jxb/10.2.290 .
Pella, JS; Tomlinson, PK (1969). "En generaliserad lagerproduktionsmodell". Tjur. Inter-Am. Trop. Tuna Comm . 13 : 421-496.
Lei, YC; Zhang, SY (2004). "Features and partial derivatives of Bertalanffy–Richards Growth Model in Forestry". Icke-linjär analys: modellering och kontroll . 9 (1): 65–73. doi : 10.15388/NA.2004.9.1.15171 .