SETAR (modell)

Inom statistik används SETAR- modeller ( Self-Exciting Threshold AutoRegressive) vanligtvis på tidsseriedata som en förlängning av autoregressiva modeller , för att möjliggöra högre grad av flexibilitet i modellparametrar genom ett regimbytesbeteende .

Givet en tidsserie av data x _t , är SETAR-modellen ett verktyg för att förstå och kanske förutsäga framtida värden i denna serie, förutsatt att seriens beteende ändras när serien går in i en annan regim . Bytet från en regim till en annan beror på de tidigare värdena för x- serien (därav den självspännande delen av namnet).

Modellen består av k autoregressiva (AR) delar, var och en för olika regim. Modellen brukar kallas SETAR ( k , p ) modellen där k är antalet tröskelvärden, det finns k+1 antal regimer i modellen och p är ordningen för den autoregressiva delen (eftersom de kan skilja sig mellan regimer, tas p- delen ibland bort och modeller betecknas helt enkelt som SETAR( k ).

Definition

Autoregressiva modeller

Betrakta en enkel AR( p ) modell för en tidsserie y _t

$y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p }y_{tp}+\epsilon _{t}.\,$

var:

$\gamma _{i}\,$ för i =1,2,..., p är autoregressiva koefficienter som antas vara konstanta över tiden;

$\epsilon _{t}\sim ^{iid}WN(0;\sigma ^{2})\,$ står för felterm med vitt brus med konstant varians .

skrivet i följande vektorform:

$y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,$

var:

$\mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2 },\ldots ,y_{tp})\,$ är en radvektor med variabler;

$\gamma \,$ är vektorn av parametrar: $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,$ ;

$\epsilon _{t}\sim ^{iid}WN(0;1)\,$ står för vitbrusfelterm med konstant varians .

SETAR som en förlängning av den autoregressiva modellen

SETAR-modeller introducerades av Howell Tong 1977 och mer fullständigt utvecklade i tidningen (Tong och Lim, 1980). De kan tänkas i termer av förlängning av autoregressiva modeller, vilket tillåter förändringar i modellparametrarna enligt värdet av svagt exogen tröskelvariabel z _t , som antas vara tidigare värden för y , t.ex. y _t-d , där d är fördröjningsparametern , utlöser ändringarna.

Definierad på detta sätt kan SETAR-modellen presenteras enligt följande:

$y_{t}=\mathbf {X_{t}} \gamma ^{(j)}+\sigma ^{(j)}\ epsilon _{t}\,$ om $r_{j-1}<z_{t}<r_{j}.\,$

var:

$X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2}, ...,y_{tp})\,$ är en kolumnvektor av variabler;

$-\infty =r_{0}<r_{1}<\ldots <r_{k}=+\infty \,$ är k+1 icke-triviala trösklar som delar upp domänen för z _t i k olika regimer.

SETAR-modellen är ett specialfall av Tongs allmänna tröskel autoregressiva modeller (Tong och Lim, 1980, s. 248). Det senare tillåter tröskelvariabeln att vara mycket flexibel, såsom en exogen tidsserie i det autoregressiva tröskelsystemet med öppen slinga (Tong och Lim, 1980, s. 249), en Markov-kedja i den Markov-kedjedrivna tröskel-autoregressiva modellen ( Tong och Lim, 1980, s. 285), som nu också är känd som Markov-växlingsmodellen.

För en omfattande genomgång av utvecklingen under de 30 åren sedan modellens födelse, se Tong (2011).

Grundläggande struktur

I var och en av k- regimerna styrs AR ( p )-processen av en annan uppsättning p- variabler: $\gamma ^{(j)}\,$ . I en sådan inställning orsakar en förändring av regimen (eftersom de tidigare värdena i serien y _t-d överskred tröskeln) en annan uppsättning koefficienter: $\gamma ^{(j)}\,$ att styra processen y .

Se även

• Logistic Smooth-Transmission Model

• Hansen, BE (1997). Inferens i TAR-modeller , Studier i icke-linjär dynamik och ekonometri, 2, 1-14.
• Tong, H. (1977) "Bidrag till diskussionen av artikeln med titeln Stochastic modeling of riverflow time series av AJLawrance och NTKottegoda", Journal of the Royal Statistical Society , Series A, 140, 34-35.
• Tong, H. & Lim, KS (1980) "Threshold Autoregression, Limit Cycles and Cyclical Data (with diskussion)", Journal of the Royal Statistical Society , Series B, 42, 245-292.
• Tong, H. (1983) Tröskelmodeller i icke-linjär tidsserieanalys . Lecture Notes in Statistics, Springer-Verlag.
• Tong, H. (1990). Icke-linjära tidsserier: en dynamisk systemmetod . Oxford University Press.
• Tong, H. (2007). "Födelse av tidsseriemodellen". Statistica Sinica, 17, 8-14.
• Tong, H. (2011). "Tröskelmodeller i tidsserieanalys —30 år senare (med diskussioner av P.Whittle, M.Rosenblatt, BEHansen, P.Brockwell, NISamia & F.Battaglia)". Statistics & Its Interface, 4, 107-136.

[1] [2] https://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/papers/saii_11.pdf

• Tsay, RS (1989). Testing and Modeling Threshold Autoregressive Processes , Journal of the American Statistical Association, 84 (405), 231-240.