SNABB schema

Inom beräkningsvätskedynamik är QUICK , som står för Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics, ett högre ordningsskillnadsschema som tar hänsyn till en trepunkts uppströms viktad kvadratisk interpolation för cellens nominella värden. Inom beräkningsvätskedynamik finns det många lösningsmetoder för att lösa den stabila konvektion-diffusionsekvationen . Några av de använda metoderna är det centrala differensschemat, uppvindsschemat , hybridschemat, kraftlagsschemat och QUICK-schemat.

QUICK-schemat presenterades av Brian P. Leonard – tillsammans med QUICKEST (QUICK with Estimated Streaming Terms)-schemat – i en tidning från 1979.

För att hitta cellens nominella värde måste en kvadratisk funktion som går genom två bracketing- eller omgivande noder och en nod på uppströmssidan användas. I centralt differensschema och andra ordningens uppvindsschema inkluderas första ordningens derivata och andra ordningens derivata ignoreras. Dessa scheman anses därför vara korrekta av andra ordningen, där QUICK tar hänsyn till andra ordningens derivata, men ignorerar tredje ordningens derivata och därför anses detta vara korrekt av tredje ordningen. Detta schema används för att lösa konvektion-diffusionsekvationer med hjälp av andra ordningens centrala skillnad för diffusionstermen och för konvektionstermen är schemat tredje ordningens noggrant i rymden och första ordningens noggrant i tid. QUICK är mest lämplig för stadigt flöde eller kvasi-stabilt högkonvektivt elliptiskt flöde .

Kvadratisk interpolation för QUICK-schema

Kvadratisk profil

För den endimensionella domänen som visas i figuren approximeras Φ-värdet vid en kontrollvolymyta med användning av trepunkts kvadratisk funktion som passerar genom de två bracketing- eller omgivande noderna och en annan nod på uppströmssidan. I figuren, för att beräkna värdet på egenskapen vid ytan, bör vi ha tre noder, dvs två bracketing- eller omgivande noder och en uppströms nod.

1. Φ _w när u _w > 0 och u _e > 0 används en kvadratisk passning genom WW, W och P,
2. Φ _e när u _w > 0 och u _e > 0 används en kvadratisk passning genom W, P och E,
3. Φ _w när u _w < 0 och u _e < 0 värden för W, P och E används,
4. Φ _e när u _w < 0 och u _e < 0 värden för P, E och EE används.

Låt de två bracketingnoderna vara i och i − 1 och uppströms nod i – 2, då för ett enhetligt rutnät ges värdet av φ vid cellytan mellan de tre noderna av:

$\phi _{face}={\frac {6}{8}}\phi _{i- 1}+{\frac {3}{8}}\phi _{i}-{\frac {1}{8}}\phi _{i-2}$

Tolkning av fastigheten när flödet går åt olika håll

Den stadiga konvektion och diffusion av en egenskap 'Ƥ' i ett givet endimensionellt flödesfält med hastighet 'u' och i frånvaro av källor ges

${d(\rho u\phi ) \over dx}={\frac {d}{dx}}\left(r{\frac {d\phi }{dx}}\right).$

För kontinuiteten i flödet måste den också uppfylla

${d(\rho u) \over dx}=0.$

Att diskretera ovanstående ekvation till en kontrollvolym runt en viss nod får vi

$(\rho uA\phi )_{e}- (\rho uA\phi )_{w}=\left(rA{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{e}-\left(rA{\frac {\partial \ phi }{\partial x}}\right)_{w}$

Att integrera denna kontinuitetsekvation över kontrollvolymen vi får

$\left(\rho uA\right)_{e}-\left(\rho uA\right)_{w}=0$

antar nu $F=\rho u$ och $D=r/\sigma x$

Motsvarande cellnosvärden för ovanstående variabler ges av

$F_{w}=\left(\rho u\right)_{w}$

$F_{e}=\left(\ rho u\right)_{e}$

$D_{w}={r_{w}}/{\sigma x_{WP}}$

$D_{e}={r_{e}}/{\sigma x_{PE}}$

Om vi ​​antar konstant area över hela kontrollvolymen får vi

$F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _ {w}=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}\left(\phi _{P}-\phi _{W}\right )$

Positiv riktning

När flödet är i positiv riktning kommer värdena på hastigheterna att vara $u_{w}>0$ och $u_{e}>0$ ,

För "w (västsida)" är bracketingnoder W och P, uppströmsnoden är WW då,

$\phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{W}+{\frac {3 }{8}}\phi _{P}-{\frac {1}{8}}\phi _{WW}$

För "e (östlig yta)" är parentesnoder P och E, uppströmsnoden är då W

$\phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3} {8}}\phi _{E}-{\frac {1}{8}}\phi _{W}$

Gradient av parabel används för att utvärdera diffusionstermer .

Om F _w > 0 och F _e > 0 och om vi använder ovanstående ekvationer för de konvektiva termerna och central differens för diffusionstermerna, kommer den diskretiserade formen av den endimensionella konvektion-diffusionstransportekvationen att skrivas som:

$F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _ {w}=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}\left(\phi _{P}-\phi _{W}\right )$

$F_{e}\left({\frac {6}{8}}\phi _{p}+{\frac {3}{8}}\phi _ {E}-{\frac {1}{8}}\phi _{w}\right)-F_{W}\left({\frac {6}{8}}\phi _{w}+{\ frac {3}{8}}\phi _{p}-{\frac {1}{8}}\phi _{ww}\right)=D_{e}\left(\phi _{E}-\ phi _{P}\right)-D_{W}\left(\phi _{p}-\phi _{w}\right)$

På omarrangemang får vi

$\left(D_{w}-{\frac {3}{8}}F_{w}+D_{e}+{\frac {6}{8}}F_{e }\right)\phi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {6}{8}}F_{w}+{\frac {1}{8}}F_{e}\right )\phi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {3}{8}}F_{e}\right)\phi _{E}-{\frac {1}{8}} F_{w}\phi _{WW}$

nu kan det skrivas i standardformen:

$a_{P}\phi _{P}=a_{W}\phi _{W}+a_{E} \phi _{E}+a_{WW}\phi _{WW}$

var:

$a_{W}$	$a_{E}$	$\displaystyle a_{WW}}$	$a_{P}$
$D_{w}+{\frac {6}{8}}F_{w}+{\frac {1}{8}}F_{e}$	$D_{e}-{\frac {3}{8}}F_{e}$	$-{\frac {1}{8}}F_{w}$	$a_{W}+a_{E}+a_{WW}+\left(F_{e}-F_{w}\right)$

Negativ riktning

När flödet är i negativ riktning blir värdet på hastigheterna u _w < 0 och u _e < 0,

För västsidan w är parentesnoderna W och P, uppströmsnoden är E och för östsidan E är parentesnoderna P och E, uppströmsnoden är EE

För $F_{w}$ < 0 och $F_{e}$ < 0 ges flödet över de västra och östra gränserna av uttrycken:

$\phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3} {8}}\phi _{W}-{\frac {1}{8}}\phi _{E}$

$\ phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{E}+{\frac {3}{8}}\phi _{P}-{\frac {1}{8}} \phi _{EE}$

Substitution av dessa två formler för de konvektiva termerna i den diskretiserade konvektions-diffusionsekvationen tillsammans med central differentiering av diffusionstermerna leder, efter omarrangemang liknande positiv riktning enligt ovan, till följande koefficienter.

$a_{W}$	$a_{E}$	$a_{EE}$	$a_{P}$
$D_{w}+{\frac {3}{8}}F_{w}$	$D_{e}-{\frac {6}{8}}F_{e}-{\frac {1}{8}}F_{w}$	${\frac {1}{8}}F_{e}$	$a_{W}+a_{E}+a_{EE}+\left(F_{e}-F_{w}\right)$

SNABB schema för 1-D konvektions-diffusionsproblem

a _P Φ _P = a _W Φ _W + a _E Φ _E + a _WW Φ _WW + a _EE Φ _EE

Här är a _P = a _W + a _E + a _{WW + a EE} + (F _e - F _w )

andra koefficienter

en W	ett WW	ett E	en EE
D w + 6/8 a w F w + 1/8F e α e +3/8 (1 – α w )F w	−1/8 α w F w	D e - 3/8a e F e -6/8(1–α e )F e −1/8 (1–α w )F w	1/8(1 – α e )F e

var

α _w =1 för F _w > 0 och α _e = 1 för F _e > 0

α _w = 0 för F _w < 0 och α _e = 0 för Fe _< 0.

Jämför lösningarna för QUICK och upwind-scheman

Från nedanstående graf kan vi se att QUICK-schemat är mer exakt än uppvindsschemat. I QUICK-schemat möter vi problemen med under- och överskjutning på grund av vilka vissa fel uppstår. Dessa över- och underskott bör beaktas vid tolkning av lösningar. Falska diffusionsfel kommer att minimeras med QUICK-schemat jämfört med andra scheman.

Jämförelse av QUICK- och UPWIND-lösningar

Se även

• Medvindsschema
• Maktlagsordning
• Metod med ändlig volym
• Ändlig skillnadsmetod

Vidare läsning

•   Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow , Taylor & Francis Group, ISBN 978-0-89116-522-4
•   Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
•   Date, Anil W. (2005), Introduction to Computational Fluid Dynamics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85326-2