Falsk diffusion

Falsk diffusion är en typ av fel som observeras när uppvindsschemat används för att approximera konvektionstermen i konvektion-diffusionsekvationer . Det mer exakta centrala skillnadsschemat kan användas för konvektionstermen , men för rutnät med cell Peclet nummer mer än 2 är det centrala skillnadsschemat instabilt och det enklare uppvindsschemat används ofta. Det resulterande felet från uppvindsskillnadsschemat har ett diffusionsliknande utseende i två- eller tredimensionella koordinatsystem och hänvisas till som "falsk diffusion". Falskt diffusionsfel i numeriska lösningar av konvektionsdiffusionsproblem, i två- och tredimensioner, uppstår från de numeriska approximationerna av konvektionstermen i konserveringsekvationerna. Under de senaste 20 åren har många numeriska tekniker utvecklats för att lösa konvektionsdiffusionsekvationer och ingen är problemfri, men falsk diffusion är ett av de allvarligaste problemen och ett stort ämne för kontroverser och förvirring bland numeriska analytiker .

Definition

Falsk diffusion definieras som ett fel som har ett diffusionsliknande utseende, erhållet när uppvindsschemat används i flerdimensionella fall för att lösa fördelningen av transporterade egenskaper som flyter icke-ortogonalt till en eller flera av systemets huvudaxlar. Felet saknas när flödet är ortogonalt eller parallellt med varje huvudaxel.

Exempel

Fig 1: Flödesdomän som illustrerar falsk diffusion

I figur 1 är u = 2 och v = 2 m/s överallt så att hastighetsfältet är enhetligt och vinkelrätt mot diagonalen (XX). Gränsvillkoren för temperatur på nord- och västvägg är 100 ̊C och för öst- och sydvägg är 0 ̊C. Denna region är maskad i 10×10 lika stora rutnät. Ta två fall, (i) med diffusionskoefficient ≠ 0 och fall (ii) med diffusionskoefficient = 0.

Fall (i)

Fig 2: Västsidan är på 100°C medan sydväggen är på 0°C. Värme sprids över diagonalen XX

I detta fall förs värme från västra och södra väggar med konvektionsflöde mot norra och östra väggar. Värme sprids också över diagonalen XX från övre till nedre triangeln. Figur 2 visar den ungefärliga temperaturfördelningen.

Fall (ii)

I detta fall konvektioneras värme från västra och södra väggar genom flöde mot norr och öster. Det kommer inte att finnas någon diffusion över diagonalen XX, men när uppvindsschemat tillämpas liknar resultaten i fall (i) där faktisk diffusion förekommer. Detta fel är känt som falsk diffusion.

Bakgrund

I tidiga tillvägagångssätt ersattes derivator i differentialformen av den styrande transportekvationen med ändliga differensapproximationer, vanligtvis centrala differensapproximationer med andra ordningens noggrannhet. Men för stora Peclet-tal (vanligen > 2) gav denna approximation felaktiga resultat. Det insågs oberoende av flera utredare att det billigare men endast första ordningens exakta uppvindsschemat kan användas men att detta schema ger resultat med falsk spridning för flerdimensionella fall. Många nya system har utvecklats för att motverka falsk spridning men ett tillförlitligt, korrekt och ekonomiskt diskretiseringssystem är fortfarande otillgängligt.

Minska fel

Fig 3(a): Maskstorlek 8×8

Fig 3(b): Resultat av uppvindsschema med maskstorlek 8X8

Fig 4(a): Maskstorlek 64×64

Fig 4(b): Resultat av uppvindsschema med maskstorlek 64×64

Finare mesh

Falsk diffusion med uppvindsschemat reduceras genom att öka maskdensiteten. I resultaten i figur 3 och 4 är det falska diffusionsfelet lägst i figur 4(b) med finare maskstorlek.

Andra system

Falskt diffusionsfel kan också reduceras genom att använda scheman såsom kraftlagsschemat , QUICK-schemat , exponentiellt schema och SUCCA och andra.

Förbättring av motvindsschemat

Falsk diffusion med det enkla uppvindsschemat uppstår eftersom schemat inte tar hänsyn till rutnäts-/flödesriktningslutningen. Ett ungefärligt uttryck för den falska diffusionstermen i två dimensioner har getts av de Vahl Davis och Mallinson (1972)

{\tau _{fc}^{\star }={\frac {\rho \ U\,\Delta x\,\Delta y\sin 2\theta }{4(\Delta y\sin ^{3}\theta +\Delta x\cos ^{3}\theta )}} }

()

där U är den resulterande hastigheten och θ är den vinkel som görs av hastighetsvektorn med x -riktningen. Falsk diffusion saknas när det resulterande flödet är inriktat med någon av uppsättningarna av rutnätslinjer och är störst när flödesriktningen är 45˚ mot rutnätslinjerna.

Fastställande av approximationens noggrannhet för konvektionstermen

Att använda Taylor-serier för $\phi _{W}$ och $\phi _{P}$ vid tiden t + kt är

\phi _{Wk}=\phi _{wk}-\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi} {\partial x}}\right)_{wk}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)^{2} \left({\frac {\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}}\right)_{wk}+\cdots .

()

\phi _{Pk}=\phi _{wk}-\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi} {\partial x}}\right)_{wk}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)^{2} \left({\frac {\partial ^{2}\phi}{\partial x^{2}}}\right)_{wk}+\cdots .

()

enligt uppvindsapproximationen för konvektion (UAC), ${\phi _{wk}=\phi _{Wk}}$ . Om man bortser från den högre ordningen i ekvation (2a), är felet för konvektionsflödet på grund av denna approximation ${-\rho _ {w}u_{w}\delta y_{i}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi}{\partial x }}\right)_{wk}}$ . Den har formen av flödet av ${\phi }$ genom falsk diffusion med en diffusionskoefficient

\tau _{fc,UAC}^{\star }={\rho _{w}u_{w}\left( {\frac {\Delta x_{i}}{2}}\right)}

()

Nedsänkt fc är en påminnelse om att detta är en falsk diffusion som härrör från uppskattningen av det konvektionerade flödet vid tidpunkten $t+k\,\Delta t$ med användning av UAC.

Skew upwind hörn konvektionsalgoritm ( SUCCA )

Fig 5: SUCCA- rutnätscellkluster

SUCCA tar hänsyn till den lokala flödesriktningen genom att införa påverkan av uppvindshörnceller i den diskretiserade konserveringsekvationen i den allmänna styrande transportekvationen. I Fig. 5 appliceras SUCCA inom nio-cells rutnätskluster. Med tanke på SW-hörninflödet för cell P är SUCCA- ekvationerna för den konvektiva transporten av den konserverade arten ${\phi }$

C_{P}\phi _{P}=\left({\dot {m}}_{w}-{\frac {({\dot {m}}_{s})^{2 }}{{\dot {m}}_{w}}}\right)\phi _{W}+\left({\dot {m}}_{s}+{\frac {({\dot { m}}_{s})^{2}}{{\dot {m}}_{w}}}\right)\phi _{SW}+0.\phi _{S}{\text{ för }}0<\theta \leq 45

()

dvs.

C_{P}\phi _{P}=C_{w}\phi _{W}+C_{s}w\phi _{ SW}

()

C_{P}\phi _{P}=\left({\dot {m}}_{s}-{\frac {({\dot {m}}_{w})^{ 2}}{{\dot {m}}_{s}}}\right)\phi _{W}+{\left({\dot {m}}_{w}+{\frac {({\ punkt {m}}_{w})^{2}}{{\dot {m}}_{s}}}\right)\phi _{SW}}+0.\phi _{W}{\ text{ för }}45<\theta <90

()

dvs.

C_{P}\phi _{P}=C_{s}\phi _{S}+C_{s}w\phi _{ SW}

()

Denna formulering uppfyller alla kriterier för konvergens och stabilitet.

Fig 6: Jämförelse av olika scheman

I fig. 6, när nätet förfinas, ger uppvindsschemat mer exakta resultat men SUCCA erbjuder en nästan exakt lösning och är mer användbar för att undvika flerdimensionella falska diffusionsfel.

Se även

Vidare läsning

Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow , Taylor & Francis Group, ISBN 9780891165224
Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
Date, Anil W. (2005), Introduction to Computational Fluid Dynamics , Cambridge University Press, ISBN 9780521853262