Rouths sats

I geometri bestämmer Rouths teorem förhållandet mellan områden mellan en given triangel och en triangel som bildas av de parvisa skärningspunkterna mellan tre cevianer . Satsen säger att om i triangeln $ABC$ punkterna $D$ , $E$ och $F$ ligger på segmenten $BC$ , $CA$ , och $AB$ , skriv sedan ${\tfrac {CD}{BD}}=x$ , ${ \tfrac {AE}{CE}}=y$ , och ${\tfrac {BF}{AF}}=z$ , det tecken på triangeln som bildas av cevianerna $AD$ , $BE$ och $CF$ är

S_{ABC}{\frac {(xyz -1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},

där $S_{ABC}$ är arean av triangeln $ABC$ .

Denna teorem gavs av Edward John Routh på sidan 82 i hans Treatise on Analytical Statics with numerous examples 1896. Det speciella fallet $x=y=z=2$ har blivit populärt som det ena fallet -sjunde areatriangeln . Fallet $x=y=z=1$ innebär att de tre medianerna är samtidiga (genom tyngdpunkten ) .

Bevis

Rouths sats

Antag att arean av triangeln $ABC$ är 1. För triangel $ABD$ och linje $FRC$ med Menelaos sats kan vi få:

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{ RA}}=1

Då ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ Så arean av triangeln $ARC$ är:

S_{ARC}={\frac {AR}{ AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\ gånger {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}

På liknande sätt kan vi veta: $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ och ${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}} Således$ är arean av triangeln ${\displaystyle PQR} :$

{\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x +1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2 }}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}

Citat

Citatet som vanligtvis ges för Rouths teorem är Rouths avhandling om analytisk statik med många exempel, volym 1, kap. IV, i andra upplagan 1896 sid. 82 , möjligen för att den utgåvan har varit lättare att hantera. Routh gav dock satsen redan i första upplagan 1891, Volym 1, Kap. IV, sid. 89 . Även om det finns en förändring i sidnumreringen mellan utgåvorna, förblev formuleringen av den relevanta fotnoten densamma.

Routh avslutar sin utökade fotnot med en varning :

"Författaren har inte mött dessa uttryck för de områden av två trianglar som ofta förekommer. Han har därför placerat dem här för att argumentet i texten ska bli lättare att förstå."

Förmodligen kände Routh att dessa omständigheter inte hade förändrats under de fem åren mellan upplagorna. Å andra sidan hade titeln på Rouths bok använts tidigare av Isaac Todhunter ; båda hade tränats av William Hopkins .

Även om Routh publicerade teoremet i sin bok, är det inte det första publicerade uttalandet. Det anges och bevisas som ryttare (vii) på sidan 33 i Solutions of the Cambridge Senate-house Problems and Riders for the Year 1878, dvs. de matematiska tripos det året, och länken är https://archive.org/ details/solutionscambri00glaigoog . Det anges att författaren till problemen med romerska siffror är Glaisher . Routh var en berömd matematisk Tripos- tränare när hans bok kom ut och var säkerligen bekant med innehållet i 1878 års triposundersökning. Således hans uttalande Författaren har inte träffat dessa uttryck för de områden av två trianglar som ofta förekommer. är förbryllande.

Problem i denna anda har en lång historia inom rekreationsmatematik och matematisk pedagogik , kanske ett av de äldsta exemplen på att vara bestämningen av proportionerna för de fjorton regionerna i Stomachion -styrelsen. Med Rouths Cambridge i åtanke, dyker triangeln med en sjundedel , som i vissa berättelser är förknippad med Richard Feynman , upp, till exempel som fråga 100, sid. 80 , i Euclid's Elements of Geometry ( Fifth School Edition ) , av Robert Potts (1805--1885) från Trinity College, publicerad 1859; jämför också hans frågor 98, 99, på samma sida. Potts stod tjugosjätte Wrangler 1832 och tränade sedan, liksom Hopkins och Routh, vid Cambridge. Potts expository skrifter i geometri erkändes av en medalj vid den internationella utställningen 1862, såväl som av en Hon. LL.D. från College of William and Mary , Williamsburg , Virginia .

Murray S. Klamkin och A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry , uttalande sid. 211, bevis s. 219–20, 2:a upplagan, Wiley, New York.
JS Kline och D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
Ivan Niven (1976) "A New Proof of Routh's Theorem", Mathematics Magazine 49(1): 25–7, doi : 10.2307/2689876
Jay Warendorff, Rouths teorem , Wolfram-demonstrationsprojektet .
Weisstein, Eric W. "Rouths sats" . MathWorld .
Rouths sats av Cross Products på MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.