Riesz menar

Inom matematiken är Riesz -medelvärdet ett visst medelvärde av termerna i en serie . De introducerades av Marcel Riesz 1911 som en förbättring jämfört med Cesàro-medelvärdet . Riesz-medelvärdet ska inte förväxlas med Bochner-Riesz-medelvärdet eller Strong-Riesz-medelvärdet.

Definition

Givet en serie $\{s_{n}\}$ definieras seriens Riesz-medelvärde av

$s^{\delta }(\lambda )=\summa _{n\leq \lambda }\left(1-{\ frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}$

Ibland definieras ett generaliserat Riesz-medelvärde som

$R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\summa _{k =0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k}$

Här är $\lambda _{n}$ en sekvens med $\lambda _{n}\to \infty$ och med ${\ displaystyle \lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1}$ som $n\to \infty$ . Förutom detta tas ${\displaystyle \lambda _{n}} som godtyckliga.$

Riesz-medel används ofta för att utforska summerbarheten av sekvenser; typiska summerbarhetssatser diskuterar fallet med $s_{n}=\summa _{k=0}^{n}a_{k}$ för någon sekvens ${\ displaystil \{a_{k}\}}$ . Vanligtvis kan en sekvens summeras när gränsen $\lim _{n\to \infty }R_{n}$ existerar, eller gränsen $\lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )$ finns, även om de exakta summerbarhetssatserna i fråga ofta ställer ytterligare villkor.

Speciella fall

Låt $a_{n}=1$ för alla $n$ . Sedan

$\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i} }\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\summa _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.$

Här måste man ta $c>1$ ; $\Gamma (s)$ är Gamma-funktionen och $\zeta (s)$ är Riemann zeta-funktionen . Power-serien

$\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}$

kan visas vara konvergent för $\lambda >1$ . Observera att integralen har formen av en invers Mellin-transform .

Ett annat intressant fall kopplat till talteori uppstår genom att ta $a_{n}=\Lambda (n)$ där $\Lambda (n)$ är Von Mangoldt-funktionen . Sedan

$\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1} {2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta + s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta } }+\summa _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\summa _{n}c_ {n}\lambda ^{-n}.$

Återigen måste man ta c > 1. Summan över ρ är summan över nollorna i Riemann zeta-funktionen, och

$\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,$

är konvergent för λ > 1.

De integraler som förekommer här liknar Nörlund–Ris-integralen ; mycket grovt kan de kopplas till den integralen via Perrons formel .

• ^ M. Riesz, Comptes Rendus , 12 juni 1911
• ^ Hardy, GH & Littlewood, JE (1916). "Bidrag till teorin om Riemann Zeta-funktionen och teorin om fördelningen av primtal" ( PDF) . Acta Mathematica . 41 : 119-196. doi : 10.1007/BF02422942 . Arkiverad från originalet (PDF) den 7 februari 2012.
• Volkov, II (2001) [1994], "Riesz summationsmetod" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press