Bochner–Riesz menar

Bochner -Riesz-medelvärdet är en summerbarhetsmetod som ofta används i harmonisk analys när man överväger konvergens av Fourier-serier och Fourier-integraler . Det introducerades av Salomon Bochner som en modifiering av Riesz-medelvärdet .

Definition

Definiera

$(\xi )_{+}={\begin{cases}\xi ,&{\mbox{if }}\xi >0\\0,&{\mbox{annat}}.\end{cases }}$

Låt $f$ vara en periodisk funktion, tänkt att vara på n-torus , $\mathbb {T} ^{n}$ och ha Fourierkoefficienter ${\hat {f}}(k)$ för $k\in \mathbb {Z} ^{n}$ . Då betyder Bochner–Riesz av komplex ordning $\delta$ , $B_{R}^{\delta }f$ av (där $R>0$ och ${\mbox{Re}}(\delta )>0$ ) definieras som

$B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset {|k|\leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\ vänster(1-{\frac {|k|^{2}}{R^{2}}}\höger)_{+}^{\delta}{\hat {f}}(k)e^{2 \pi ik\cdot \theta }.$

Analogt, för en funktion $f$ på $\mathbb {R} ^{n}$ med Fouriertransform ${\hat {f}}(\xi )$ , Bochner–Riesz medel av komplex ordning $\delta$ , $S_{R}^{\delta }f$ (där $R>0$ och ${\mbox{Re}}(\delta )>0$ ) definieras som

$S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^ {2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .$

Applikation för faltningsoperatorer

För $\delta >0$ och $n=1$ , $S_{R}^{\delta }$ och $B_{R} ^{\delta }$ kan skrivas som faltningsoperatorer , där faltningskärnan är en ungefärlig identitet . Som sådan, i dessa fall, är det mycket enklare att betrakta konvergensen av Bochner–Riesz nästan överallt för funktioner i $L^{p}$ utrymmen än problemet med "regelbunden" nästan överallt konvergens av Fourierserier/integraler (motsvarande $\delta =0$ ).

I högre dimensioner blir faltningskärnorna "uppförda sig sämre": specifikt för

$\delta \leq {\tfrac {n-1}{2}}$

kärnan är inte längre integrerbar. Här blir det på motsvarande sätt svårare att etablera konvergens nästan överallt.

Bochner–Riesz gissningar

En annan fråga är den för vilken $\delta$ och vilken $p$ som Bochner–Riesz betyder för en $L^{p}$ funktion konvergerar i norm. Denna fråga är av fundamental betydelse för $n\geq 2$ , eftersom regelbunden sfärisk normkonvergens (återigen motsvarande $\delta =0$ ) misslyckas i $L^{p }$ när $p\neq 2$ . Detta visades i en tidning från 1971 av Charles Fefferman .

Genom ett överföringsresultat är problemen $\mathbb {R} ^{n}$ och $\mathbb {T} ^{n}$ ekvivalenta med varandra, och som sådana med en argument som använder principen om enhetlig boundedness , för varje viss ${\displaystyle p\in (1,\infty )} ,$ L $\displaystyle L^{p}}$ följer normkonvergens i båda fallen för exakt de $\delta$ där $(1-|\xi |^{2})_{+}^{\delta }$ är symbolen för ett $L^{p}$ avgränsad Fouriermultiplikatoroperator .

För $n=2$ har den frågan lösts helt, men för $n\geq 3$ har den bara delvis besvarats. Fallet med $n=1$ är inte intressant här eftersom konvergens följer för $p\in (1,\infty )$ i det svåraste $\delta =0$ fall som en konsekvens av $L^{p}$ avgränsning av Hilbert-transformen och ett argument av Marcel Riesz .

Definiera $\delta (p)$ , det "kritiska indexet", som

$\max(n|1/p-1/2|-1/2,0)$ .

Sedan säger Bochner–Riesz- förmodan det

$\delta >\delta (p)$

är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för en $L^{p}$ gränsad Fouriermultiplikatoroperator. Det är känt att tillståndet är nödvändigt.

Vidare läsning

•   Lu, Shanzhen (2013). Bochner-Riesz Means on Euclidean Spaces (Första upplagan). World Scientific. ISBN 978-981-4458-76-4 .
•   Grafakos, Loukas (2008). Klassisk Fourieranalys (andra upplagan). Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-09431-1 .
•   Grafakos, Loukas (2009). Modern Fourier Analysis (andra upplagan). Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-09433-5 .
•   Stein, Elias M. & Murphy, Timothy S. (1993). Övertonsanalys: verkliga variabla metoder, ortogonalitet och oscillerande integraler . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-03216-5 .