Replängd

I fysikalisk knutteori har varje realisering av en länk eller knut en tillhörande replängd . Intuitivt är detta den minimala längden på ett idealiskt flexibelt rep som behövs för att knyta en viss länk eller knut. Knutar och länkar som minimerar replängden kallas idealknutar respektive ideallänkar .

En numerisk approximation av en idealisk trefoil .

Definition

Replängden för en knuten kurva $C$ definieras som förhållandet $L(C)=\operatörsnamn {Len} (C)/\ tau (C)$ , där $\operatorname {Len} (C)$ är längden på $C$ och $\tau (C)$ är knuttjocklek på $C$ .

Replängden kan förvandlas till en knutinvariant genom att definiera replängden för en knut $K$ som den minsta replängden över alla kurvor som realiserar $K$ .

Replängdsminimering

En av de tidigaste knutteorifrågorna ställdes i följande termer:

Kan jag knyta en knut på ett fotlångt rep som är en tum tjockt?

När det gäller replängd frågar detta om det finns en knut med replängd $12$ . Svaret är nej: ett argument som använder kvadrisekanter visar att replängden för en icke-trivial knut måste vara minst $15,66$ . Men sökandet efter svaret har stimulerat forskning på både teoretisk och beräkningsgrund. Det har visat sig att det för varje länktyp finns en replängdsminimering även om den bara kan vara av differentieringsklass $C^{1}$ . För den enklaste icke-triviala knuten, trefoilknuten, har datorsimuleringar visat att dess minsta replängd är högst 16,372.

Beroende på korsningsnummer

En omfattande sökning har ägnats åt att visa samband mellan replängd och andra knutinvarianter, såsom korsningstalet för en knut. För varje knut ${\displaystyle K} är$ replängden på $K$ åtminstone proportionell mot $\operatorname {Cr} (K)^{3/4}$ , där $\operatorname {Cr} (K)$ anger korsningsnumret. Det finns knutar och länkar, nämligen $(k,k-1)$ torusknutar och $k$ - Hopf-länkar , för vilka denna nedre gräns är snäv. Det vill säga för dessa knutar (i stor O-notation ),

$$L(K)=O(\operatörsnamn {Cr} (K)^{3/4}).$$

Å andra sidan finns det också knutar vars replängd är större, proportionell mot själva korsningstalet snarare än till en mindre kraft av det. Detta är nästan hårt, som för varje knut,

$$L(K)=O(\operatörsnamn {Cr} (K)\log ^{5}(\operatörsnamn {Cr} (K))).$$

Beviset för denna nästan linjära övre gräns använder ett dividera-och-erövra-argument för att visa att minimiprojektioner av knutar kan bäddas in som plana grafer i det kubiska gittret. Men ingen har ännu observerat en knutfamilj med superlinjärt beroende av längd på korsningsnummer och det antas att den snäva övre gränsen ska vara linjär.