Renhet (algebraisk geometri)

Inom det matematiska området för algebraisk geometri är renhet ett tema som täcker ett antal resultat och gissningar, som tillsammans tar upp frågan om att bevisa att "när något händer, händer det i en viss samdimension " .

Grenlokusets renhet

Till exempel är förgreningen ett fenomen av kodimension 1 (i geometrin hos komplexa grenrör , vilket reflekterar som för Riemann-ytor som förgrenar sig på enstaka punkter att det händer i verklig kodimension två). Ett klassiskt resultat, Zariski-Nagata renhet av Masayoshi Nagata och Oscar Zariski , även kallad renhet av grenlokus , bevisar att på en icke-singular algebraisk variant måste ett grenlokus, nämligen den uppsättning punkter där en morfism förgrenar sig, göras upp enbart av undervarieteter av kodimension 1 (en Weil divisor ). Det har förekommit åtskilliga förlängningar av detta resultat till satser av kommutativ algebra och schemateori , som fastställer renheten för grenlokuset i betydelsen beskrivning av restriktionerna för de möjliga "öppna undermängderna av misslyckande" för att vara en etalemorfism .

Kohomologisk renhet

Det finns också ett homologiskt begrepp om renhet som är relaterat, nämligen en samling resultat som säger att kohomologigrupper från en viss teori är triviala med eventuellt undantag av ett index i . Sådana resultat etablerades i étale cohomology av Michael Artin (ingår i SGA 4 ), och var grundläggande för att sätta upp teorin för att innehålla förväntade analoger av resultat från singular cohomology . Ett allmänt uttalande av Alexander Grothendieck, känd som den absoluta kohomologiska renhetsförmodan, bevisades av Ofer Gabber. Det handlar om en sluten nedsänkning av scheman (reguljära, noetherska) som är enbart av kodimension d , och den relativa lokala kohomologin i étaleteorin. Med koefficienter mod n där n är inverterbar bör kohomologin endast ske med index 2d ( och anta ett förutsagt värde).