Rellich-Kondrachovs sats

Inom matematik är Rellich -Kondrachov-satsen en kompakt inbäddningssats om Sobolev -rum . Den är uppkallad efter den österrikisk-tyske matematikern Franz Rellich och den ryske matematikern Vladimir Iosifovich Kondrashov . Rellich bevisade L ² -satsen och Kondrashov L ^p -satsen.

Uttalande av satsen

Låt Ω ⊆ R ⁿ vara en öppen , avgränsad Lipschitz - domän , och låt 1 ≤ p < n . Uppsättning

p^{*}:={\frac {np}{np}}.

är Sobolev-utrymmet W ^{1, p} (Ω; R ) kontinuerligt inbäddat i L ^p -utrymmet L ^{p ^∗} (Ω; R ) och är kompakt inbäddat i L ^q (Ω; R ) för varje 1 ≤ q < p ^∗ . I symboler,

W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega )

och

W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega ){\text{ för }}1\leq q<p^{*}.

Kondrachovs inbäddningssats

På ett kompakt grenrör med $C 1$ -gräns, säger Kondrachovs inbäddningssats att om $k > ℓ$ och $k - n / p > ℓ - n / q$ så är Sobolev-inbäddningen

W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)

är helt kontinuerlig (kompakt).

Konsekvenser

Eftersom en inbäddning är kompakt om och endast om inklusionsoperatorn (identitet) är en kompakt operator , innebär Rellich–Kondrachovs sats att varje enhetligt bunden sekvens i W ^{1, p} (Ω; R ) har en undersekvens som konvergerar i L ^q ( Ω; R ). Angivet i denna form, tidigare refererades resultatet ibland till som Rellich-Kondrachovs urvalssats , eftersom man "väljer" en konvergent delsekvens. (Men idag är det vanliga namnet "kompakthetsteorem", medan "selektionssats" har en exakt och helt annan betydelse, med hänvisning till mängdvärderade funktioner ).

Rellich-Kondrachov-satsen kan användas för att bevisa Poincaré-olikheten , som säger att för u ∈ W ^{1, p} (Ω; R ) (där Ω uppfyller samma hypoteser som ovan),

\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}

för någon konstant C beror endast på p och geometrin för domänen Ω, där

u_{\Omega }:={\frac {1}{\operatörsnamn {meas} (\Omega )}}\int _{ \Omega }u(x)\,\mathrm {d} x

anger medelvärdet av u över Ω.

^ Taylor, Michael E. (1997). Partiella differentialekvationer I - Grundläggande teori (2:a upplagan). sid. 286. ISBN 0-387-94653-5 .
^ Evans, Lawrence C. (2010). "§5.8.1". Partiella differentialekvationer (2:a upplagan). sid. 290. ISBN 978-0-8218-4974-3 .

Litteratur

Evans, Lawrence C. (2010). Partiella differentialekvationer (2:a upplagan). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3 .
Kondrachov, VI, Om vissa egenskaper hos funktioner i rummet L p .Dokl. Akad. Nauk SSSR 48, 563–566 (1945).
Leoni, Giovanni (2009). En första kurs i Sobolev Spaces . Forskarstudier i matematik . 105 . American Mathematical Society. s. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8 . MR 2527916 . Zbl 1180,46001
Rellich, Franz (24 januari 1930). "Ein Satz über mittlere Konvergenz" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse ( på tyska). 1930 : 30–35. JFM 56.0224.02 .

[Taylor-1] Taylor, Michael E. (1997). Partiella differentialekvationer I - Grundläggande teori (2:a upplagan). sid. 286. ISBN 0-387-94653-5 .

[Evans-2] Evans, Lawrence C. (2010). "§5.8.1". Partiella differentialekvationer (2:a upplagan). sid. 290. ISBN 978-0-8218-4974-3 .