Vanligt element i en Lie-algebra

I matematik är ett regelbundet element i en Lie-algebra eller Lie-grupp ett element vars centraliserare har en så liten dimension som möjligt. Till exempel, i en komplex halvenkel Lie-algebra, är ett element $X\in {\mathfrak {g}}$ regelbundet om dess centraliserare i ${\mathfrak {g}}$ har samma dimension till rangordningen ${\mathfrak {g}}$ , vilket i sin tur är lika med dimensionen av en del av en kartansk subalgebra ${\mathfrak {h}}$ (observera att i tidigare uppsatser, ett element av en komplex halvenkel Lie-algebra kallades regelbunden om den är halvenkel och kärnan i dess sammanhängande representation är en kartansk subalgebra). Ett element $g\in G$ en Lie-grupp är regelbundet om dess centraliserare har en dimension lika med rangordningen $G$ .

Grundläggande fall

I det specifika fallet med ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {k} )} ,$ Lie-algebra för $n\ gånger n$ matriser över ett algebraiskt stängt fält $\mathbb {k}$ (som de komplexa talen ), är ett reguljärt element $M$ ett element vars Jordan-normalform innehåller ett enda Jordan-block för varje egenvärde (i andra ord, den geometriska multipliciteten för varje egenvärde är 1). Centraliseraren för ett reguljärt element är uppsättningen polynom med grad mindre än $n$ utvärderade i matrisen $M$ , och därför har centralizern dimensionen ${\displaystyle n} ($ som är lika med rangen av ${\mathfrak {gl}}_{n}$ , men är inte nödvändigtvis en algebraisk torus).

Om matrisen $M$ är diagonaliserbar, så är den regelbunden om och endast om det finns $n$ olika egenvärden. För att se detta, lägg märke till att $M$ kommer att pendla med valfri matris $P$ som stabiliserar vart och ett av dess egenrum. Om det finns $n$ olika egenvärden, så händer detta endast om $P$ är diagonaliserbar på samma grund som $M$ ; i själva verket $P$ en linjär kombination av de första $n$ potenserna av $M$ , och centraliseraren är en algebraisk torus av komplex dimension $n$ (verklig dimension $2n$ ); eftersom detta är den minsta möjliga dimensionen av en centraliserare, är matrisen $M$ regelbunden. Men om det finns lika egenvärden, är centraliseraren produkten av de allmänna linjära grupperna av egenrymden för $M$ och har en strikt större dimension, så att $M$ inte är regelbunden.

För en sammankopplad kompakt Lie-grupp $G$ bildar de reguljära elementen en öppen tät delmängd, uppbyggd av $G$ - konjugationsklasser av elementen i en maximal torus $T$ som är regelbundna i $G$ . De reguljära elementen i $T$ är själva uttryckligen givna som komplement till en mängd i ${\displaystyle T} ,$ en uppsättning av codimension-one subtori som motsvarar rotsystemet för $G$ . På liknande sätt, i Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ av $G$ , bildar de reguljära elementen en öppen tät delmängd som explicit kan beskrivas som adjoint $G$ -banor av reguljära element i Lie-algebra av $T$ , elementen utanför hyperplanen som motsvarar rotsystemet.

Definition

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en ändlig dimensionell Lie-algebra över ett oändligt fält. För varje ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}},$ låt

$p_{x}(t)=\det(t-\operatörsnamn {ad } (x))=\summa _{i=0}^{\dim {\mathfrak {g}}}a_{i}(x)t^{i}$

vara det karakteristiska polynomet för adjoint endomorphism $\operatorname {ad} (x):y\mapsto [x,y]$ av ${\mathfrak {g}}$ . Då, per definition, rangordningen för ${\mathfrak {g}}$ det minsta heltal $r$ så att $a_{r}(x)\neq 0$ för vissa $x\in {\mathfrak {g}}$ och betecknas med $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ . Till exempel, eftersom $a_{\dim {\mathfrak {g}}}(x)=1$ för varje x , ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent (dvs varje $\operatorname {ad} (x)$ är nilpotent enligt Engels teorem ) om och endast om $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})=\dim {\mathfrak {g}}$ .

Låt ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}=\{x\in {\mathfrak {g}}|a_{\operatörsnamn {rk} ({\mathfrak {g}})}(x)\neq 0\}$ . Per definition är ett vanligt element i ${\mathfrak {g}}$ ett element i mängden ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}$ . Eftersom $a_{\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$ är en polynomfunktion på ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ med avseende på Zariski topologi , mängden ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}$ är en öppen delmängd av ${\mathfrak {g}}$ .

Över $\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}$ är en ansluten mängd (med avseende på den vanliga topologin), men över ${ \displaystyle \mathbb {R} }$ , det är bara en ändlig förening av anslutna öppna mängder.

En kartansk subalgebra och ett regelbundet element

Över ett oändligt fält kan ett regelbundet element användas för att konstruera en Cartan subalgebra , en självnormaliserande nilpotent subalgebra. Över ett fält med karakteristisk noll, konstruerar detta tillvägagångssätt alla Cartan subalgebras.

Givet ett element $x\in {\mathfrak {g}}$ , låt

${\mathfrak {g}}^{0}(x)=\bigcup _{n\geq 0}\ ker(\operatörsnamn {ad} (x)^{n}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}})$

vara det generaliserade egenutrymmet för $\operatornamn {ad} (x)$ för egenvärde noll. Det är en subalgebra av ${\mathfrak {g}}$ . Observera att $\dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)$ är samma som den (algebraiska) multipliciteten av noll som ett egenvärde för ${\ displaystil \operatörsnamn {ad} (x)}$ ; dvs det minsta heltal m så att $a_{m}(x)\neq 0$ i notationen i § Definition . Således, $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})\leq \dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)$ och likheten gäller om och endast om $x$ är ett vanligt element.

Påståendet är då att om $x$ är ett vanligt element, så är ${\mathfrak {g}}^{0}(x)$ en kartansk subalgebra. Således $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ dimensionen av åtminstone någon kartansk subalgebra; i själva verket $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ minimimåttet för en kartansk subalgebra. Mer starkt, över ett fält med karakteristisk noll (t.ex. $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ ),

• varje kartansk subalgebra av ${\mathfrak {g}}$ har samma dimension; alltså, $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ är dimensionen av en godtycklig kartansk subalgebra,
• ett element x av ${\mathfrak {g}}$ är regelbundet om och endast om ${\mathfrak {g}}^{0}(x)$ är en kartansk subalgebra, och
• varje Cartan-subalgebra har formen ${\mathfrak {g}}^{0}(x)$ för något vanligt element $x\in {\mathfrak {g}}$ .

Ett regelbundet element i en kartansk subalgebra av en komplex halvenkel Lie-algebra

För en kartansk subalgebra ${\mathfrak {h}}$ av en komplex halvenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ med rotsystemet $\Phi$ , ett element av ${\mathfrak {h}}$ är regelbunden om och endast om den inte är i föreningen av hyperplan ${\textstyle \bigcup _{\alpha \ i \Phi }\{h\in {\mathfrak {h}}\mid \alpha (h)=0\}}$ . Detta beror på: för $r=\dim {\mathfrak {h}}$ ,

• För varje ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}} är$ det karakteristiska polynomet för $\operatorname {ad} (h)$${\textstyle t^{r}\left(t^{\dim {\mathfrak { g}}-r}-\sum _{\alpha \in \Phi }\alpha (h)t^{\dim {\mathfrak {g}}-r-1}+\cdots \pm \prod _{\ alpha \in \Phi }\alpha (h)\right)}$ .

Denna karakterisering tas ibland som definitionen av ett reguljärt element (särskilt när endast reguljära element i Cartan subalgebras är av intresse).

Anteckningar

• Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie , Éléments de Mathématique, Hermann
•    Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Representation Theory, A First Course , Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8 , MR 1153249
•   Procesi, Claudio (2007), Lie Groups: an approach through invariants and representation , Springer, ISBN 9780387260402
•   Serre, Jean-Pierre (2001), Complex Semisimple Lie Algebras , Springer, ISBN 3-5406-7827-1