Reebs sfärsats

Inom matematiken säger Reebs sfärsats , uppkallad efter Georges Reeb , att

En sluten orienterad sammankopplad grenrör M   ⁿ som tillåter en singulär foliation som endast har centra är homeomorf till sfären S ⁿ och foliationen har exakt två singulariteter.

Morsefoliation

En singularitet av en foliation F är av morsetyp om i dess lilla grannskap alla löv av foliationen är nivåuppsättningar av en morsefunktion , vilket är singulariteten en kritisk punkt för funktionen. Singulariteten är ett centrum om det är ett lokalt extremum av funktionen; annars är singulariteten en sadel .

Antalet centra c och antalet sadlar $s$ , närmare bestämt $cs$ , är tätt sammankopplade med den mångfaldiga topologin.

Vi betecknar $displaystyle \operatorname {ind} p=\min(k,nk)}$ \ , indexet för en singularitet $p$ , där k är indexet av motsvarande kritiska punkt för en morsefunktion. I synnerhet har ett center index 0, index för en sadel är minst 1.

En morsefoliation F på ett grenrör M är en singulär tvärorienterad kodimension en foliation av klass $C^{2}$ med isolerade singulariteter så att:

• varje singularitet av F är av morsetyp,
• varje singularblad L innehåller en unik singularitet p ; dessutom, om $\operatorname {ind} p=1$ så är $L\setminus p$ inte ansluten.

Reebs sfärsats

Detta är fallet ${\displaystyle c>s=0} ,$ fallet utan sadlar.

Sats: Låt $M^{n}$ vara ett sluten orienterat sammankopplat grenrör med dimension $n\geq 2$ . Antag att $M^{n}$ tillåter en $C^{1}$ -tvärorienterad kodimension en foliation $F$ med en icke-tom uppsättning singulariteter som alla centrerar. Då består singularmängden av $F$ av två punkter och $M^{n}$ är homeomorf till sfären $S^{n}$ .

Det är en följd av Reebs stabilitetssats .

Generalisering

Mer allmänt fall är $c>s\geq 0.$

1978 generaliserade Edward Wagneur Reebs sfärsats till morseblad med sadlar. Han visade att antalet centra inte kan vara för mycket jämfört med antalet sadlar, särskilt $c\leq s+2$ . Så det finns exakt två fall när $c>s$ :

(1) $c=s+2,$

(2) $c=s+1.$

Han fick en beskrivning av mångfalden som medgav en foliation med singulariteter som uppfyller (1).

Sats: Låt $M^{n}$ vara ett kompakt sammankopplat grenrör som tillåter en morsefoliation $F$ med $c$ centrerar och $s$ sadlar. Sedan $c\leq s+2$ . I fallet $c=s+2$ ,

• $M$ är homeomorf till $S^{n}$ ,
• alla sadlar har index 1,
• varje regelbundet blad är diffeomorft till $S^{n-1}$ .

Slutligen, 2008, övervägde César Camacho och Bruno Scardua fallet (2), $c=s+1$ . Detta är möjligt i ett litet antal låga dimensioner.

Sats: Låt $M^{n}$ vara ett kompakt sammankopplat grenrör och $F$ en morsefoliation på $M$ . Om $s=c+1$ , då

• $n=2,4,8$ eller $16$ ,
• $M^{n}$ är ett Eells–Kuiper-grenrör .