Reducerad derivat

Inom matematiken är den reducerade derivatan en generalisering av begreppet derivata som är väl lämpad för studiet av funktioner av begränsad variation . Även om funktioner av begränsad variation har derivator i betydelsen Radonmått , är det önskvärt att ha en derivata som tar värden i samma utrymme som funktionerna själva. Även om den exakta definitionen av den reducerade derivatan är ganska involverad, är dess nyckelegenskaper ganska lätta att komma ihåg:

• det är en multipel av den vanliga derivatan varhelst den finns;
• vid hopppunkter är det en multipel av hoppvektorn.

Begreppet reducerad derivat tycks ha introducerats av Alexander Mielke och Florian Theil 2004.

Definition

Låt X vara ett separerbart , reflexivt Banachrum med norm || || och fixera T > 0. Låt BV ₋ ([0, T ]; X ) beteckna utrymmet för alla vänsterkontinuerliga funktioner z : [0, T ] → X med begränsad variation på [0, T ].

För valfri funktion av tid f , använd nedsänkta +/− för att beteckna höger/vänster kontinuerliga versioner av f , dvs.

$f_{+}(t)=\lim _{s\downarrow t}f(s);$

$f_{-}(t)=\lim _{s\uparrow t}f(s).$

För varje delintervall [ a , b ] av [0, T ], låt Var( z , [ a , b ]) beteckna variationen av z över [ a , b ], dvs.

$\mathrm {Var} (z,[a,b])=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{k}\|z(t_{i})-z (t_{i-1})\|\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b,k\in \mathbb {N} \right\}.$

Det första steget i konstruktionen av den reducerade derivatan är "sträcktiden" så att z kan interpoleras linjärt vid dess hopppunkter. För detta ändamål, definiera

${\hat {\tau }}\colon [0,T]\to [0,+\infty );$

${\hat {\tau }}(t)=t+\int _{[0,t]}\|\mathrm {d} z\|=t+\mathrm {Var} (z,[0,t ]).$

Funktionen "utsträckt tid" τ̂ är vänsterkontinuerlig (dvs τ̂ = τ̂ ₋ ); dessutom är τ̂ ₋ och τ̂ ₊ strikt ökande och överensstämmer förutom vid de (högst räknebara) hopppunkterna för z . Inställningen T̂ = τ̂ ( T ), kan denna "sträcka" inverteras med

${\hat {t}}\colon [0,{\hat {T}}]\to [0,T];$

${\hat {t}}(\tau )=\max\{t\in [0,T]|{\hat {\tau }}(t)\leq \tau \}.$

definieras den sträckta versionen av z av

${\hat {z}}\in C^{0}([0,{\hat {T}}];X);$

${\hat {z}}(\tau )=(1-\theta )z_{-}(t)+\theta z_{+}(t)$

där θ ∈ [0, 1] och

$\tau =(1-\theta ){\hat {\tau}}_{-}(t)+\theta {\hat {\tau}}_{+}(t).$

Effekten av denna definition är att skapa en ny funktion ẑ som "sträcker ut" hoppen för z genom linjär interpolation. En snabb beräkning visar att ẑ inte bara är kontinuerlig, utan också ligger i ett Sobolev-utrymme :

${\hat {z}}\in W^{1,\infty }([0,{\hat {T}}];X);$

$\left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {z}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|_{L^ {\infty }([0,{\hat {T}}];X)}\leq 1.$

Derivatan av ẑ ( τ ) med avseende på τ definieras nästan överallt med avseende på Lebesgue-måttet . Den reducerade derivatan av z är tillbakadragningen av denna derivata genom sträckningsfunktionen τ̂ : [0, T ] → [0, T̂ ]. Med andra ord,

$\mathrm {rd} (z)\kolon [0,T]\till \{x\in X|\|x\|\leq 1\};$

$\mathrm {rd} (z)(t)={\frac {\mathrm {d} {\hat {z}}}{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {{ \hat {\tau }}_{-}(t)+{\hat {\tau }}_{+}(t)}{2}}\höger).$

Förknippat med denna tillbakadragning av derivatan är tillbakadragningen av Lebesgue-måttet på [0, T̂ ], som definierar differentialmåttet μ _z :

$\mu _{z}([t_{1},t_{2}))=\lambda ([{\hat {\tau }}(t_{1}),{\hat {\tau }} (t_{2}))={\hat {\tau }}(t_{2})-{\hat {\tau }}(t_{1})=t_{2}-t_{1}+\int _{[t_{1},t_{2}]}\|\mathrm {d} z\|.$

Egenskaper

• Den reducerade derivatan rd( z ) definieras endast μ _z -nästan överallt på [0, T ].
• Om t är en hopppunkt för z , då

$\mu _{z}(\{t\})=\|z_{+}(t)-z_{-}(t)\|{\mbox{ och }}\mathrm {rd} (z )(t)={\frac {z_{+}(t)-z_{-}(t)}{\|z_{+}(t)-z_{-}(t)\|}}.$

• Om z är differentierbar på ( t ₁ , t ₂ ), sedan

$\mu _{z} ((t_{1},t_{2}))=\int _{t_{1}}^{t_{2}}1+\|{\dot {z}}(t)\|\,\mathrm {d} t$

och, för t ∈ ( t ₁ , t ₂ ),

${\displaystyle \mathrm {rd} ( z)(t)={\frac {{\dot {z}}(t)}{1+\|{\dot {z}}(t)\|}}} , För$,

• For 0 ≤ s < t ≤ T,

$\int _{[s,t)}\mathrm {rd} (z)(r)\,\mathrm {d} \mu _{z}(r)=\int _{[s,t)}\mathrm {d} z=z(t)-z(s).$

• Mielke, Alexander; Theil, Florian (2004). "On rate-independent hysteresis models". NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 11 (2): 151–189. doi:10.1007/s00030-003-1052-7. ISSN 1021-9722. S2CID 54705046. MR 2210284