Rayleigh–Gans uppskattning

Rayleigh-Gans approximation , även känd som Rayleigh-Gans-Debye approximation och Rayleigh-Gans-Born approximation , är en ungefärlig lösning på ljusspridning av optiskt mjuka partiklar. Optisk mjukhet innebär att partikelns relativa brytningsindex är nära det omgivande mediet. Approximationen gäller för partiklar av godtycklig form som är relativt små men som kan vara större än Rayleighs spridningsgränser .

Teorin härleddes av Lord Rayleigh 1881 och tillämpades på homogena sfärer, sfäriska skal, radiellt inhomogena sfärer och oändliga cylindrar. Peter Debye har bidragit till teorin 1881. ^{kvantmekaniken Richard Teorin} för homogen sfär återupptogs av Gans 1925. Approximationen är analog med Born approximation i .

Teori

Giltighetsvillkoren för approximationen kan betecknas som:

|n-1|\ll 1

kd|n-1|\ll 1

${\textstyle k}$ är ljusets vågvektor ( ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ), medan ${\textstyle d}$ hänvisar till det linjära dimensionen av partikeln. $n$ är det komplexa brytningsindexet för partikeln. Det första villkoret möjliggör en förenkling när det gäller att uttrycka materialets polariserbarhet i härledningen nedan. Det andra villkoret är ett uttalande av Born approximationen , det vill säga att det infallande fältet inte förändras mycket inom en partikel så att varje volymelement anses vara upplyst av en intensitet och fas som endast bestäms av dess position i förhållande till den infallande vågen , opåverkad av spridning från andra volymelement.

Partikeln är uppdelad i små volymelement, som behandlas som oberoende Rayleigh-spridare . För ett inkommande ljus med s-polarisation ges spridningsamplitudbidraget från varje volymelement som :

dS_{1}(\theta ,\phi )=i{\frac { 3}{4\pi }}k^{3}\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)e^{i\delta }dV

där $\delta$ anger fasskillnaden på grund av varje enskilt element, och bråkdelen inom parentes är den elektriska polariserbarheten som hittas från brytningsindexet med Clausius–Mossotti-relationen . Under villkoret (n-1) << 1 , kan denna faktor approximeras som 2(n-1)/3 . Faserna $\delta$ som påverkar spridningen från varje volymelement är endast beroende av deras positioner med avseende på den inkommande vågen och spridningsriktningen. Genom att integrera, får spridningsamplitudfunktionen således:

S_{1}(\theta ,\phi )\approx {\frac {i}{2\pi }}k^{3}(n-1)\int e^{i\delta }dV

där endast den slutliga integralen, som beskriver de interfererande faserna som bidrar till spridningsriktningen (θ, φ), återstår att lösa enligt spridarens speciella geometri. Genom att kalla V hela volymen av spridningsobjektet, över vilken denna integrering utförs, kan man skriva den spridningsparametern för spridning med det elektriska fältets polarisation vinkelrätt mot infallsplanet (s polarisation) som

S_{1}={\frac {i}{2\pi }}k^{3}(n-1) VR(\theta ,\phi )

och för polarisering i infallsplanet (p-polarisation) som

S_{2}={\frac {i}{2\pi }}k^{3}( n-1)VR(\theta ,\phi )cos\theta

där ${\textstyle R(\theta ,\phi )}$ anger "formfaktorn" för spridaren:

R(\theta ,\phi )={\frac {1}{V}}\int {}{}e^{i\delta } dV

För att bara hitta intensiteter kan vi definiera P som den kvadratiska storleken på formfaktorn:

P(\theta ,\phi )=\left({\frac {1}{V^{2}}}\right)\left|\int e^{i\delta}dV\right|^ {2}

Sedan kan den spridda strålningsintensiteten, i förhållande till den infallande vågens intensitet, för varje polarisation skrivas som:

I_{1}/I_{0}=\left({\frac {k^ {4}V^{2}}{4\pi ^{2}r^{2}}}\right)(n-1)^{2}P(\theta ,\phi )

I_{2}/I_{0}=\left({\frac {k^ {4}V^{2}}{4\pi ^{2}r^{2}}}\right)(n-1)^{2}P(\theta ,\phi )cos^{2}\ theta

där r är avståndet från spridaren till observationspunkten. Enligt den optiska satsen ges absorptionstvärsnittet som :

C_{abs}=2kV\mathbb {Im} (n)

som är oberoende av polariseringen ^{[ tveksamt – diskutera ]} .

Ansökningar

Rayleigh-Gans approximation har tillämpats på beräkningen av de optiska tvärsnitten av fraktala aggregat. Teorin tillämpades också på anisotropa sfärer för nanostrukturerad polykristallin aluminiumoxid och grumlighetsberäkningar på biologiska strukturer som lipidvesiklar och bakterier .

En icke-linjär Rayleigh-Gans-Debye-modell användes för att undersöka generering av andra övertoner i malakitgröna molekyler adsorberade på polystyrenpartiklar .

Se även