Rationell singularitet

Inom matematiken , mer speciellt inom området algebraisk geometri , har ett schema $X$ rationella singulariteter , om det är normalt , av ändlig typ över ett fält med karakteristisk noll, och det finns en riktig birationalkarta

$f\colon Y\högerpil X$

från ett vanligt schema $Y$ så att de högre direkta bilderna av $f_{*}$ tillämpade på ${\mathcal {O}}_{Y}$ är triviala. Det är,

$R^{i}f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}=0$ för $i>0$ .

Om det finns en sådan upplösning, följer det att alla upplösningar delar denna egenskap, eftersom två valfria upplösningar av singulariteter kan domineras av en tredje.

För ytor definierades rationella singulariteter av ( Artin 1966) .

Formuleringar

Alternativt kan man säga att $X$ har rationella singulariteter om och bara om den naturliga kartan i den härledda kategorin

${\mathcal {O}}_{X}\rightarrow Rf_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$

är en kvasi-isomorfism . Observera att detta inkluderar påståendet att ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\simeq f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}} och därav$ antagandet att $X$ är normalt.

Det finns besläktade begrepp i positiv och blandad karaktäristisk för

• pseudo-rationell

och

• F-rationell

Rationella singulariteter är i synnerhet Cohen-Macaulay , normal och Du Bois . De behöver inte vara Gorenstein eller ens Q-Gorenstein .

Loggterminalssingulariteter är rationella.

Exempel

Ett exempel på en rationell singularitet är den singulara spetsen på den kvadriska konen

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.\,$

Artin visade att de rationella dubbelpunkterna på algebraiska ytor är Du Val-singulariteterna .

Se även

• Elliptisk singularitet

•     Artin, Michael (1966), "On isolated rational singularities of surfaces", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 88 (1): 129–136, doi : 10.2307/2373050 , ISSN 0002-90527 , JSTOR 0002-90 07 , 3 MR 0199191
•    Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational geometri of algebraic varieties , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5 , MR 1658959
•    Lipman, Joseph (1969), "Rationella singulariteter, med tillämpningar på algebraiska ytor och unik faktorisering" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 195–279, ISSN 1618-1913 , MR 0276239