Röntgenomvandling

I matematik är röntgenomvandlingen (även kallad John transform ) en integrerad transformation som introducerades av Fritz John 1938 och som är en av hörnstenarna i modern integralgeometri . Den är mycket nära besläktad med Radontransformen och sammanfaller med den i två dimensioner. I högre dimensioner definieras röntgentransformeringen av en funktion genom att integrera över linjer snarare än över hyperplan som i Radontransformen. Röntgentransformen har fått sitt namn från röntgentomografi ( används i CT-skanningar ) eftersom röntgentransformeringen av en funktion ƒ representerar dämpningsdata för en tomografisk scan genom ett inhomogent medium vars densitet representeras av funktionen ƒ . Inversion av röntgentransformen är därför av praktisk betydelse eftersom den tillåter en att rekonstruera en okänd densitet ƒ från dess kända dämpningsdata.

I detalj, om ƒ är en kompakt stödd kontinuerlig funktion på det euklidiska rymden Rn , så är ^{röntgentransformeringen} av ƒ funktionen Xƒ definierad på mängden av alla linjer i Rn ^av

$Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R} }f(x_ {0}+t\theta )dt$

₀ där x är en initial punkt på linjen och θ är en enhetsvektor som anger riktningen för linjen L . Den senare integralen betraktas inte i orienterad mening: det är integralen med avseende på det 1-dimensionella Lebesguemåttet på den euklidiska linjen L .

Röntgentransformen uppfyller en ultrahyperbolisk vågekvation som kallas Johns ekvation .

Gauss hypergeometriska funktion kan skrivas som en röntgentransform ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003, 2.1.2).

• Berenstein, Carlos A. (2001) [1994], "röntgenomvandling" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
•    Gelfand, IM; Gindikin, SG; Graev, MI (2003) [2000], Valda ämnen i integralgeometri , Translations of Mathematical Monographs, vol. 220, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2932-5 , MR 2000133
•    Helgason, Sigurdur (2008), Geometrisk analys av symmetriska rum , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 39 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4530-1 , MR 2463854
• Helgason, Sigurdur (1999), The Radon Transform (PDF) , Progress in Mathematics (2nd ed.), Boston, MA: Birkhauser