Johns ekvation

Johns ekvation är en ultrahyperbolisk partiell differentialekvation som uppfylls av röntgentransformeringen av en funktion. Den är uppkallad efter Fritz John .

Givet en funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ med kompakt stöd är röntgentransformen integralen över alla linjer i ${ \displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Vi kommer att parametrisera linjerna efter par av punkter $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ , $x\neq y$ på varje linje och definiera $u$ som stråltransformeringen var

$u(x,y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x+t(yx))dt.$

Sådana funktioner $u$ kännetecknas av Johns ekvationer

$\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial y_{j}}} -{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{i}\partial x_{j}}}=0}$

vilket bevisas av Fritz John för dimension tre och av Kurusa för högre dimensioner.

I tredimensionell röntgen datoriserad tomografi kan Johns ekvation lösas för att fylla i saknade data, till exempel där data erhålls från en punktkälla som korsar en kurva, vanligtvis en helix.

Mer allmänt är en ultrahyperbolisk partiell differentialekvation (en term myntad av Richard Courant ) en andra ordningens partiell differentialekvation av formen

$\sum \limits _{i,j =1}^{2n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\summa \limits _{i=1}^ {2n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=0$

där $n\geq 2$ , så att den kvadratiska formen

$\sum \limits _{i,j=1}^{2n}a_{ij}\xi _{i}\xi _{j}$

kan reduceras genom en linjär förändring av variabler till formen

$\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}-\sum \limits _{i=n+1}^{2n}\xi _{i} ^{2}.$

Det är inte möjligt att godtyckligt specificera lösningens värde på en icke-karakteristisk hyperyta. Johns papper ger dock exempel på grenrör där en godtycklig specifikation av u kan utökas till en lösning.

•     John, Fritz (1938), "Den ultrahyperboliska differentialekvationen med fyra oberoende variabler" , Duke Mathematical Journal , 4 (2): 300–322, doi : 10.1215/S0012-7094-38-00423-5 , ISSN 0942 , -70942 , -70942 MR 1546052 , Zbl 0019.02404
• Á. Kurusa, En karakterisering av radontransformens räckvidd genom ett system av PDE:er, J. Math. Anal. Appl., 161 (1991), 218-226. doi : 10.1016/0022-247X(91)90371-6
• SK Patch, Konsistensförhållanden på 3D CT-data och vågekvationen, Phys. Med. Biol. 47 nr 15 (7 augusti 2002) 2637-2650 doi : 10.1088/0031-9155/47/15/306