Quantum t-design

En kvant-t-design är en sannolikhetsfördelning över antingen rena kvanttillstånd eller enhetliga operatorer som kan duplicera egenskaperna hos sannolikhetsfördelningen över Haar-måttet för polynom med grad t eller mindre. Specifikt är medelvärdet av en polynomfunktion av grad t över designen exakt detsamma som medelvärdet över Haar-måttet. Här är Haar-måttet en enhetlig sannolikhetsfördelning över alla kvanttillstånd eller över alla enhetsoperatorer. Quantum t-designs kallas så för att de är analoga med t-designs i klassisk statistik, som uppstod historiskt i samband med problemet med design av experiment . Två särskilt viktiga typer av t-designer inom kvantmekaniken är projektiva och enhetliga t-designer.

En sfärisk design är en samling punkter på enhetssfären för vilka polynom med begränsad grad kan medelvärdesöversättas för att erhålla samma värde som integration över ytmått på sfären ger. Sfäriska och projektiva t-designer hämtar sina namn från Delsartes, Goethals och Seidels verk i slutet av 1970-talet, men dessa objekt spelade tidigare roller i flera grenar av matematiken, inklusive numerisk integration och talteori. Särskilda exempel på dessa objekt har funnit användning inom kvantinformationsteori , kvantkryptografi och andra relaterade områden.

Unitära t-designer är analoga med sfäriska mönster genom att de reproducerar hela enhetsgruppen via en finit samling av enhetliga matriser . Teorin om enhetliga 2-designer utvecklades 2006 specifikt för att uppnå ett praktiskt sätt för effektiv och skalbar randomiserad benchmarking för att bedöma felen i kvantberäkningsoperationer, så kallade grindar. Sedan dess har enhetliga t-designer befunnits användbara inom andra områden av kvantberäkningar och mer allmänt inom kvantinformationsteori och tillämpats på problem så långtgående som informationsparadoxen för det svarta hålet. Unitära t-designer är särskilt relevanta för randomiseringsuppgifter i kvantberäkning eftersom idealoperationer vanligtvis representeras av enhetliga operatorer.

Motivering

I ett d-dimensionellt Hilbert-rum är den naturliga gruppen SU(d), den speciella enhetliga gruppen av dimension d. Haar-måttet är, per definition, det unika gruppinvarianta måttet, så det används för att genomsnittliga egenskaper som inte är enhetligt invarianta över alla tillstånd, eller över alla unitärer.

Ett särskilt allmänt använt exempel på detta är spin ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}-$ systemet. För detta system är den relevanta gruppen SU(2) som är gruppen av alla 2x2 enhetsoperatörer. Eftersom varje 2x2 enhetlig operator är en rotation av Bloch-sfären , är Haar-måttet för spin-1/2-partiklar invariant under alla rotationer av Bloch-sfären. Detta innebär att Haar-måttet är det rotationsinvarianta måttet på Bloch-sfären, vilket kan ses som en konstant densitetsfördelning över sfärens yta.

En viktig klass av komplexa projektiva t-designer är symmetriska informationsmässigt kompletta positiva operatörsvärderade mått POVM , som är komplexa projektiva 2-designer. Eftersom sådana 2-designer måste ha minst $d^{2}$ element, är en SIC-POVM en komplex projektiv 2-design av minimal storlek.

Sfäriska t-designer

Komplexa projektiva t-designer har studerats inom kvantinformationsteori som kvant-t-designer. Dessa är nära besläktade med sfäriska 2t-designer av vektorer i enhetssfären i $\mathbb {R} ^{d}$ som när de är naturligt inbäddade i $\mathbb {C} ^{d}$ ger upphov till komplexa projektiva t-designer.

Formellt definierar vi en sannolikhetsfördelning över kvanttillstånd $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ för att vara en komplex projektiv t-design om

$\sum _{i}p_{i}(|\phi _{ i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}=\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$

Här tas integralen över tillstånden över Haarmåttet på enhetssfären i $\mathbb {C} ^{d}$

Exakta t-designer över kvanttillstånd kan inte särskiljas från den enhetliga sannolikhetsfördelningen över alla tillstånd när man använder t-kopior av ett tillstånd från sannolikhetsfördelningen. Men i praktiken kan även t-designer vara svåra att beräkna. Av denna anledning är ungefärliga t-design användbara.

Ungefärliga t-designer är mest användbara på grund av deras förmåga att implementeras effektivt. dvs det är möjligt att generera ett kvanttillstånd $|\phi \rangle$ fördelat enligt sannolikhetsfördelningen $p_{i}|\phi _{i}\rangle$ i $O(\log ^{c}d)$ tid. Denna effektiva konstruktion innebär också att POVM för operatörerna $Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ kan implementeras i $O(\log ^{c}d)$ tid.

Den tekniska definitionen av en ungefärlig t-design är:

Om $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$

och $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{ i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\ psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$

då $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ är en $\epsilon$ -ungefärlig t-design.

Det är möjligt, men kanske ineffektivt, att hitta en $\epsilon$ -ungefärlig t-design bestående av kvantrena tillstånd för ett fast t.

Konstruktion

För enkelhetens skull antas d vara en potens av 2.

Att använda det faktum att det för varje d finns en uppsättning $N^{d}$ funktioner {0,...,d-1} $\rightarrow$ {0,...,d -1} så att för varje distinkt $k_{1},...,k_{N}\in$ {0,...,d-1} bilden under f, där f är slumpmässigt vald från S, är exakt den enhetliga fördelningen över tuplar av N element av {0,...,d-1}.

Låt ${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle } dras från$ Haar-måttet. Låt $P_{d}$ vara sannolikhetsfördelningen av $\alpha _{1}$ och låt $P=\lim _{d\ högerpil \infty }{\sqrt {d}}P_{d}$ . Låt slutligen $\alpha$ dras från P. Om vi definierar $X=|\alpha |$ med sannolikhet ${\tfrac {1}{2}}$ och $X=-|\alpha |$ med sannolikhet ${\tfrac {1}{2}}$ sedan: $E[X^{j}]=0$ för udda j och $E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!$ för jämn j.

Med hjälp av denna och Gaussisk kvadratur kan vi konstruera $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}| }}$ så att $p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle$ är en ungefärlig t-design.

Unitary t-Designs

Unitära t-designer är analoga med sfäriska mönster genom att de reproducerar hela enhetsgruppen via en finit samling av enhetliga matriser . Teorin om enhetliga 2-designer utvecklades 2006 specifikt för att uppnå ett praktiskt sätt för effektiv och skalbar randomiserad benchmarking för att bedöma felen i kvantberäkningsoperationer, så kallade grindar. Sedan dess har enhetliga t-designer befunnits användbara inom andra områden av kvantberäkning och mer allmänt inom kvantinformationsteori och inom så långtgående områden som svarta håls fysik. Unitära t-designer är särskilt relevanta för randomiseringsuppgifter i kvantberäkning eftersom idealoperationer vanligtvis representeras av enhetliga operatorer.

Element i en enhetlig t-design är element i den enhetliga gruppen, U(d), gruppen av $d\times d$ enhetsmatriser. En t-design av enhetliga operatörer kommer att generera en t-design av stater.

Anta att ${U_{k}}$ är en enhetlig t-design (dvs en uppsättning enhetliga operatorer). Sedan för alla rent tillstånd $|\psi \rangle$ låt $|\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle$ . Sedan ${|\psi _{k}\rangle }$ kommer alltid att vara en t-design för tillstånd.

Definiera formellt en enhetlig t-design , X, if

${\frac {1}{|X|}}\summa _ {U\in X}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}=\int _{U(d)}U^{\otimes t}\otimes (U^ {*})^{\otimes t}dU$

Observera att utrymmet som sträcks linjärt av matriserna $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ över alla val av U är identisk med begränsningen $U\in X$ och $r+s=t$ Denna observation leder till en slutsats om dualiteten mellan enhetsdesigner och enhetliga koder.

Med hjälp av permutationskartorna är det möjligt att direkt verifiera att en uppsättning enhetliga matriser bildar en t-design.

Ett direkt resultat av detta är att för valfri ändlig $X\subseteq U(d)$

${\frac {1}{|X|^{2}}}\sum _{U,V\in X}|tr(U*V)|^{2t}\geq \int _{U(d)}|tr(U*V)|^{2t}dU$

Med jämlikhet om och endast om X är en t-design.

1 och 2-designer har undersökts i detalj och absoluta gränser för dimensionen av X, |X|, har härletts.

Gränser för enhetliga mönster

Definiera $Hom(U(d),t,t)$ som uppsättningen funktioner homogena av grad t i $U$ och homogena av grad t i $U^{*}$ , sedan om för varje $f\in Hom(U(d),t,t)$ :

${\frac {1}{|X|}}\summa _{U\in X}f(U)=\ int _{U(d)}f(U)dU$

då är X en enhetlig t-design.

Vi definierar vidare den inre produkten för funktionerna $f$ och $g$ på $U(d)$ som medelvärdet av ${\bar {f }}g$ som:

$\langle f,g\rangle :=\int _{U(d)}{\bar {f( U)}}g(U)dX$

och $\langle f,g\rangle _{X}$ som medelvärdet av ${\bar {f}}g$ över valfri ändlig delmängd $X\subset U(d)$ .

Det följer att X är en enhetlig t-design om och endast om $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$ .

Av ovanstående kan det påvisas att om X är en t-design så $|X|\geq \dim(\operatörsnamn {Hom} (U(d),\left\lceil { \tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ är en absolut gräns för designen. Detta sätter en övre gräns för storleken på en enhetlig design. Denna gräns är absolut men den beror bara på styrkan hos designen eller graden av koden, och inte avstånden i delmängden, X.

En enhetlig kod är en ändlig delmängd av den enhetliga gruppen där ett fåtal inre produktvärden förekommer mellan element. Specifikt definieras en enhetskod som en finit delmängd $X\subset U(d)$ om för alla $U\neq M$ i X $|\operatörsnamn {tr} (U^{*}M)|^{2}$ tar bara distinkta värden.

Härav följer att $|X|\leq \dim(\operatörsnamn {Hom} (U(d),s,s))$ och om U och M är ortogonala: $|X|\leq \dim(\operatörsnamn {Hom} (U(d),s,s-1))$

Se även