Prolate sfäroidal vågfunktion

De prolate sfäroidala vågfunktionerna är egenfunktioner hos Laplacian i prolate sfäroidala koordinater, anpassade till gränsförhållanden på vissa rotationsellipsoider (en ellips roterad runt sin långaxel, "cigarrform"). Besläktade är de oblate sfäroidala vågfunktionerna ("pannkaksformad" ellipsoid).

Lösningar på vågekvationen

Lös Helmholtz-ekvationen , ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi +k^{2}\Phi =0} ,$ genom metoden för separation av variabler i sfäroidala prolatkoordinater , $(\xi ,\eta ,\varphi )$ , med:

$\ x=a{\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}) }}\cos \varphi ,$

$\ y=a{\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1) -\eta ^{2})}}\sin \varphi ,$

$\ z=a\,\xi \,\eta ,$

och $\xi \geq 1$ , $|\eta |\leq 1$ och $0\leq \varphi \leq 2\pi$ . Här $2a>0$ interfokalavståndet för det elliptiska tvärsnittet av prolatsfäroiden Inställningen $c=ka$ kan lösningen $\Phi (\xi ,\eta ,\varphi )$ skrivas som produkten av $e^{{\rm {i}}m\varphi }$ , en radiell sfäroidal vågfunktion $R_{mn}(c,\xi )$ och en vinkelsfäroidal vågfunktion $S_{mn}(c,\eta )$ .

Den radiella vågfunktionen $R_{mn}(c,\xi )$ uppfyller den linjära ordinära differentialekvationen :

$\ (\xi ^{2}-1){\frac {d^{2}R_{mn}(c,\xi)}{d\ xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2 }\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi )}=0$

Vinkelvågsfunktionen uppfyller differentialekvationen:

$\ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}S_{mn}(c,\eta )}{d\ eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2 }\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta )}=0$

Det är samma differentialekvation som i fallet med radialvågsfunktionen. Variabelns intervall är dock annorlunda: i radialvågsfunktionen, $\xi \geq 1$ , medan i vinkelvågsfunktionen, $|\eta |\leq 1$ . Egenvärdet $\lambda _{mn}(c)$ för detta Sturm–Liouville-problem fixeras av kravet att ${S_{mn}( c,\eta )}$ måste vara ändlig för $\eta \to \pm 1$ .

För $c=0$ reduceras båda differentialekvationerna till ekvationerna som är uppfyllda av de associerade Legendre-polynomen . För $c\neq 0$ kan de vinkelformade sfäriska vågfunktionerna utökas som en serie Legendre-funktioner.

Om man skriver $S_{mn}(c,\eta )=(1-\eta ^{ 2})^{m/2}Y_{mn}(c,\eta )$ , funktionen $Y_{mn}(c,\eta )$ uppfyller

$\ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}Y_{mn}(c,\ eta )}{d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(c^{ 2}\eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,$

som är känd som den sfäroidala vågekvationen . Denna hjälpekvation har använts av Stratton.

Bandbegränsade signaler

Vid signalbehandling är de prolatsfäroidala vågfunktionerna (PSWF) användbara som egenfunktioner för en tidsbegränsande operation följt av ett lågpassfilter. Låt $D$ beteckna tidsavkortningsoperatorn, så att $f(t)=Df(t)$ om och endast om $f (t)$ har stöd för $[-T,T]$ . På liknande sätt, låt $B$ beteckna en idealisk lågpassfiltreringsoperator, så att $f(t)=Bf(t)$ om och endast om dess Fourier-transform är begränsad till $[-\Omega ,\Omega ]$ . Operatören $BD$ visar sig vara linjär, avgränsad och självadjoint . För $n=0,1,2,\ldots$ betecknar vi med $\displaystyle \psi _{n}(c,t)}$$n$ n -th egenfunktion , definierad som

$\ BD\psi _{n}(c,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\Omega }^{\Omega }\ vänster(\int _{-T}^{T}\psi _{n}(c,\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau \right)e^{i\omega t }\,d\omega =\lambda _{n}(c)\psi _{n}(c,t),$

där $1>\lambda _{0}(c)>\lambda _{1}(c)>\cdots >0$ är de associerade egenvärdena , och $c=T\Omega$ är en konstant. De bandbegränsade funktionerna ${\displaystyle \{\psi _{n}(c,t)\}_{n=0}^{\infty }} är$ prolaten sfäroidala vågfunktioner, proportionella mot $S_{0n}(c,t/T)$ som introducerats ovan. (Se även Spektralkoncentrationsproblem .)

Banbrytande arbete inom detta område utfördes av Slepian och Pollak, Landau och Pollak och Slepian.

Prolate sfäroidala vågfunktioner vars domän är en (del av) ytan av enhetssfären kallas mer allmänt för "slepiska funktioner". Dessa är till stor nytta inom discipliner som geodesi eller kosmologi.

Teknisk information och historik

Det finns olika normaliseringsscheman för sfäroidala funktioner. En tabell över de olika scheman finns i Abramowitz och Stegun som följer Flammers notation. Digital Library of Mathematical Functions tillhandahållet av NIST är en utmärkt resurs för sfäroidala vågfunktioner.

Tabeller med numeriska värden för sfäroidala vågfunktioner ges i Flammer, Hunter, Hanish et al., och Van Buren et al.

Ursprungligen introducerades de sfäroidala vågfunktionerna av C. Niven, vilket leder till en Helmholtz-ekvation i sfäroidala koordinater. Monografier som binder samman många aspekter av teorin om sfäroidala vågfunktioner skrevs av Strutt, Stratton et al., Meixner och Schafke och Flammer.

Flammer gav en grundlig diskussion om beräkningen av egenvärdena, vinkelvågsfunktioner och radiella vågfunktioner för både prolat- och oblatfallet. Datorprogram för detta ändamål har utvecklats av många, inklusive King et al., Patz och Van Buren, Baier et al., Zhang och Jin, Thompson och Falloon. Van Buren och Boisvert har nyligen utvecklat nya metoder för att beräkna prolate sfäroidala vågfunktioner som utökar möjligheten att erhålla numeriska värden till extremt breda parameterområden. Fortran källkod som kombinerar de nya resultaten med traditionella metoder finns på http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .

Asymptotiska expansioner av vinkelprolat sfäroidala vågfunktioner för stora värden på $c$ har härletts av Müller. Han undersökte också sambandet mellan asymptotiska expansioner av sfäroidala vågfunktioner.

externa länkar

• MathWorld Spheroidal Wave-funktioner
• MathWorld Prolate sfäroidal vågfunktion
• MathWorld Oblate Spheroidal Wave-funktion