Spektralkoncentrationsproblem

De tre ledande Slepian-sekvenserna för T=1000 och 2WT=6. Observera att varje sekvens av högre ordning har en extra nollkorsning.

Spektralkoncentrationsproblemet i Fourier-analys avser att hitta en tidssekvens av en given längd vars diskreta Fouriertransform är maximalt lokaliserad på ett givet frekvensintervall , mätt med spektralkoncentrationen.

Spektral koncentration

Den tidsdiskreta Fouriertransformen (DTFT) U ( f ) av en ändlig serie $w_{t}$ , $t=1,2,3,4,...,T$ definieras som

U(f)=\sum _{t=1}^{T}w_{t}e^{-2\pi ift}.

I det följande kommer samplingsintervallet att tas som Δ t = 1, och därmed frekvensintervallet som f ∈ [-½,½]. U ( f ) är en periodisk funktion med en period 1.

För en given frekvens W så att 0< W < ½, definieras spektralkoncentrationen $\lambda (T,W)$ för U ( f ) på intervallet [- W , W ] som förhållandet mellan effekten av U ( f ) som finns i frekvensbandet [- W , W ] och effekten av U ( f ) som finns i hela frekvensbandet [-½,½]. Det är,

\lambda (T,W)={\frac {\int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df}{\int _{- 1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{2}\,df}}.

Det kan visas att U ( f ) endast har isolerade nollor och därmed $0<\lambda (T,W)<1$ (se [1]). Således är den spektrala koncentrationen strikt mindre än ett , och det finns ingen ändlig sekvens $w_{t}$ för vilken DTFT kan begränsas till ett band [- W , W ] och fås att försvinna utanför detta band .

Redogörelse av problemet

Bland alla sekvenser $\lbrace w_{t}\rbrace$ för ett givet T och W , finns det en sekvens för vilken spektralkoncentrationen är maximal? Med andra ord, finns det en sekvens för vilken sidolobsenergin utanför ett frekvensband [- W , W ] är minimum?

Svaret är ja; en sådan sekvens existerar verkligen och kan hittas genom att optimera $\lambda (T,W)$ . På så sätt maximeras kraften

\int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df

under förutsättning att den totala effekten är fast, säg

\int _{-1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{ 2}\,df=1,

leder till följande ekvation uppfylld av den optimala sekvensen $w_{t}$ :

\sum _{t'=1}^{T}{\frac {\sin 2\pi W(tt')}{\pi (tt')}}w_{t'}=\lambda w_{ t}.

Detta är en egenvärdesekvation för en symmetrisk matris som ges av

M_{t,t'}={\frac {\sin 2\pi W(tt')}{\pi (tt')}}.

Det kan visas att denna matris är positiv-definitiv , därför ligger alla egenvärden för denna matris mellan 0 och 1. Det största egenvärdet i ovanstående ekvation motsvarar största möjliga spektrala koncentration; motsvarande egenvektor är den erforderliga optimala sekvensen $w_{t}$ . Denna sekvens kallas en 0: ^e ordningens Slepian-sekvens (även känd som en diskret prolat sfäroidal sekvens, eller DPSS), som är en unik avsmalning med maximalt undertryckta sidlober.

Det visar sig att antalet dominanta egenvärden för matrisen M som är nära 1, motsvarar N=2WT som kallas Shannon-tal. Om egenvärdena $\lambda$ är ordnade i fallande ordning (dvs. ${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}> \lambda _{3}>...>\lambda _{N}} ), då$ kallas egenvektorn som motsvarar $\lambda _{n+1}$ n : ^te ordningens Slepian-sekvens ( DPSS) (0≤n≤N - 1 ) . Denna n: ^e ordningens avsmalning erbjuder också den bästa sidolobsdämpningen och är parvis ortogonal mot de slepiska sekvenserna av tidigare ordningar $(0,1,2,3 ....,n-1)$ . Dessa slepiska sekvenser av lägre ordning utgör grunden för spektral uppskattning genom multitaper -metod.

Inte begränsat till tidsserier, kan spektralkoncentrationsproblemet omformuleras för att tillämpas på sfärens yta genom att använda sfäriska övertoner, för tillämpningar inom geofysik och kosmologi bland annat.

Se även

Partha Mitra och Hemant Bokil. Observed Brain Dynamics , Oxford University Press, USA (2007), Länk till bok
Donald. B. Percival och Andrew. T. Walden. Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques , Cambridge University Press, Storbritannien (2002).
Partha Mitra och B. Pesaran, "Analys av dynamisk hjärnavbildningsdata." The Biophysical Journal, Volym 76 (1999), 691-708, arxiv.org/abs/q-bio/0309028
FJ Simons, MA Wieczorek och FA Dahlen. Spatiospektral koncentration på en sfär . SIAM Review, 2006, doi : 10.1137/S0036144504445765