Projicerat dynamiskt system

Projicerade dynamiska system är en matematisk teori som undersöker beteendet hos dynamiska system där lösningar är begränsade till en begränsningsuppsättning. Disciplinen delar kopplingar till och tillämpningar med både den statiska världen av optimerings- och jämviktsproblem och den dynamiska världen av vanliga differentialekvationer . Ett projicerat dynamiskt system ges av flödet till den projicerade differentialekvationen

${\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x (t),-F(x(t)))$

där K är vår restriktionsmängd. Differentialekvationer av denna form är kända för att ha ett diskontinuerligt vektorfält.

Historik om projicerade dynamiska system

Projicerade dynamiska system har utvecklats ur önskan att dynamiskt modellera beteendet hos icke-statiska lösningar i jämviktsproblem över någon parameter, vilket vanligtvis tar tid. Denna dynamik skiljer sig från den för vanliga differentialekvationer genom att lösningarna fortfarande är begränsade till vilken restriktionsuppsättning som det underliggande jämviktsproblemet arbetade på, t.ex. icke-negativitet av investeringar i finansiell modellering, konvexa polyedriska uppsättningar i operationsforskning , etc. En särskilt viktig jämviktsklass Problem som har bidragit till framväxten av projicerade dynamiska system har varit variationsmässiga ojämlikheter .

Formaliseringen av projicerade dynamiska system började på 1990-talet. Liknande begrepp kan dock hittas i den matematiska litteraturen som föregår detta, särskilt i samband med variationsskillnader och differentiella inneslutningar.

Projektioner och koner

Varje lösning på vår projicerade differentialekvation måste förbli inom vår restriktionsuppsättning K för all tid. Detta önskade resultat uppnås genom användning av projektionsoperatorer och två särskilt viktiga klasser av konvexa koner . Här tar vi K för att vara en sluten , konvex delmängd av något Hilbertrum X.

Normalkonen till mängden K vid punkten x i K ges av

$N_{K}(x)=\{p\in V|\langle p,xx^{*}\rangle \geq 0,\forall x^{*}\in K\}.$

Tangentkonen (eller kontingentkonen ) till mängden K i punkten x ges av

$T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {1}{h}}(Kx)}}.$

Projektionsoperatorn (eller närmaste elementmappning ) för en punkt x i X till K ges av punkten $\displaystyle P_{K}(x)}$ { i K så att

$\|x-P_{K}(x)\|\leq \|xy\|$

för varje y i K .

Vektorprojektionsoperatorn för en vektor v i X vid en punkt x i K ges av

$\Pi _{K}(x,v)=\lim _{\delta \to 0^{+}}{\frac {P_{K}(x+\delta v)-x}{\delta } }.$

Vilket bara är Gateaux-derivatan som beräknas i riktning mot vektorfältet

Projicerade differentialekvationer

Givet en sluten, konvex delmängd K av ett Hilbertrum X och ett vektorfält -F som tar element från K till X , definieras den projicerade differentialekvationen associerad med K och -F att vara

${\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t))).$

På insidan av K uppför sig lösningar som de skulle om systemet vore en obunden vanlig differentialekvation. Men eftersom vektorfältet är diskontinuerligt längs gränsen för mängden, hör projicerade differentialekvationer till klassen av diskontinuerliga vanliga differentialekvationer. Även om detta gör mycket av vanlig differentialekvationsteori otillämplig, är det känt att när -F är ett Lipschitz kontinuerligt vektorfält, existerar en unik absolut kontinuerlig lösning genom varje initialpunkt x(0)=x ₀ i K i intervallet $[0,\infty )$ .

Denna differentialekvation kan växelvis karakteriseras av

${\frac {dx(t)}{dt}}=P_{T_{K} (x(t))}(-F(x(t)))$

eller

${\frac {dx(t)}{dt}}=-F(x(t))-P_{N_{K}(x(t))}(-F(x(t))).$

Konventionen att beteckna vektorfältet -F med ett negativt tecken härrör från en speciell koppling som projicerade dynamiska system delar med variationsmässiga olikheter. Konventionen i litteraturen är att referera till vektorfältet som positivt i variationsjämlikheten och negativt i motsvarande projicerade dynamiska system.

Se även

• Differentiell variationsmässig ojämlikhet
• Dynamisk systemteori
• Vanlig differentialekvation
• Variationell ojämlikhet
• Differentiell inkludering
• Komplementaritetsteori

• Aubin, JP och Cellina, A., Differential Inclusions , Springer-Verlag, Berlin (1984).
• Nagurney, A. och Zhang, D., Projected Dynamical Systems and Variational Inequalities with Applications , Kluwer Academic Publishers (1996).
• Cojocaru, M. och Jonker L., Existens av lösningar till projicerade differentialekvationer på Hilbert-rum, Proc. Amer. Matematik. Soc., 132(1), 183-193 (2004).
• Brogliato, B., och Daniilidis, A., och Lemaréchal, C. och Acary, V., "Om likvärdigheten mellan komplementaritetssystem, projicerade system och differentiella inneslutningar", Systems and Control Letters , vol.55, s.45 -51 (2006)