Primär cyklisk grupp

Inom matematiken är en primär cyklisk grupp en grupp som är både en cyklisk grupp och en p -primär grupp för något primtal p . Det vill säga, det är en cyklisk grupp av ordningen p ^m , C _{p ^m} , för något primtal p , och naturligt tal m .

Varje ändlig abelsk grupp G kan skrivas som en ändlig direkt summa av primära cykliska grupper, som anges i grundsatsen för ändliga abelska grupper :

$G=\bigoplus _{1\leq i\leq n}\mathrm {C} _{{p_{i}}^{m_{i}}}.$

Detta uttryck är i grunden unikt: det finns en bijektion mellan grupperna av grupper i två sådana uttryck, som mappar varje grupp till en som är isomorf.

Primära cykliska grupper karakteriseras bland ändligt genererade abelska grupper som torsionsgrupper som inte kan uttryckas som en direkt summa av två icke-triviala grupper. Som sådana bildar de, tillsammans med gruppen av heltal , byggstenarna i ändligt genererade abelska grupper.

Undergrupperna i en primär cyklisk grupp är linjärt ordnade genom inkludering. De enda andra grupperna som har denna egenskap är de kvasicykliska grupperna .