Prais–Winsten uppskattning

Inom ekonometri är Prais–Winsten-estimering en procedur avsedd att ta hand om seriekorrelationen av typ AR (1) i en linjär modell . Utfattad av Sigbert Prais och Christopher Winsten 1954, är det en modifiering av Cochrane–Orcutts uppskattning i den meningen att den inte förlorar den första observationen, vilket leder till mer effektivitet som ett resultat och gör det till ett specialfall av genomförbara generaliserade minsta kvadrater. .

Teori

Tänk på modellen

$y_{t}=\alpha +X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\,$

där $y_{t}$ är tidsserien av intresse vid tidpunkten t , $\beta$ är en vektor av koefficienter, $X_{t}$ är en matris av förklarande variabler , och $\varepsilon _{t}$ är feltermen . Feltermen kan seriekorreleras över tiden: ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t},\ |\rho |<1} och e t {\displaystyle e_{t$ } $vitt$ brus . Förutom Cochrane–Orcutt-förvandlingen, som är

$y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+(X_{t}-\rho X_{t-1})\beta +e_{t},\,$

för t = 2,3,..., T gör Prais-Winsten-proceduren en rimlig transformation för t = 1 i följande form:

${\sqrt {1-\rho ^{2}}}y_{1}=\alpha {\sqrt {1-\rho ^{2}}}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}X_{1}\right)\beta +{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\varepsilon _{1}.\,$

Sedan görs den vanliga minsta kvadratuppskattningen .

Uppskattningsförfarande

Lägg märke till det först

$\mathrm {var } (\varepsilon _{t})=\mathrm {var} (\rho \varepsilon _{t-1}+e_{it})=\rho ^{2}\mathrm {var} (\varepsilon _{t -1})+\mathrm {var} (e_{it})$

Observera att för en stationär process är variansen konstant över tiden,

$(1-\rho ^{2})\mathrm {var} (\varepsilon _{t})=\ mathrm {var} (e_{it})$

och sålunda,

$\mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\mathrm {var} (e_ {it})}{(1-\rho ^{2})}}$

Utan förlust av generalitet, anta att variansen för det vita bruset är 1. För att göra uppskattningen på ett kompakt sätt måste man titta på autokovariansfunktionen för feltermen som beaktas i modellslaget:

$\mathrm {cov} (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t+h})=\rho ^{h}\mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac { \rho ^{h}}{1-\rho ^{2}}},{\text{ för }}h=0,\pm 1,\pm 2,\dots \,.$

Det är lätt att se att modellens varians–kovariansmatris , Ω $\displaystyle \mathbf {\Omega } } , är$

$\mathbf {\Omega } ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2} }}&{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2 }}}\\[8pt]{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\ rho }{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac { \rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^ {2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\[8pt]{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {1}{1-\rho ^{2} }}\end{bmatrix}}.$

Med $\rho$ (eller en uppskattning av det), ser vi att,

${\hat {\Theta }}=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Z} )^{-1}(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Y} ),\,$

där $\mathbf {Z}$ är en matris av observationer på den oberoende variabeln ( X _t , t = 1, 2, ..., T ) inklusive en vektor av ettor, $\mathbf {Y }$ är en vektor som staplar observationerna på den beroende variabeln ( y _t , t = 1, 2, ..., T ) och ${\hat {\Theta }}$ inkluderar modellparametrarna.

Notera

För att se varför det initiala observationsantagandet som anges av Prais–Winsten (1954) är rimligt, med tanke på mekaniken för den generaliserade minsta kvadratiska skattningen som skisseras ovan är till hjälp. Inversen av $\mathbf {\Omega }$ kan dekomponeras som $\mathbf {\Omega } ^{-1}=\mathbf {G} ^{\mathsf { T}}\mathbf {G}$ med

$\mathbf {G} ={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}&0&0&\cdots &0\\-\rho &1&0&\cdots &0\\0&-\rho &1&\ cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

En förmultiplikation av modellen i en matrisnotation med denna matris ger den transformerade modellen av Prais–Winsten.

Restriktioner

Feltermen är fortfarande begränsad till att vara av typen AR(1) . Om $\rho$ inte är känd kan en rekursiv procedur ( Cochrane–Orcutt-uppskattning ) eller rutnätssökning ( Hildreth–Lu-uppskattning) användas för att göra uppskattningen genomförbar. Alternativt har en för maximal sannolikhet med fullständig information som uppskattar alla parametrar samtidigt föreslagits av Beach och MacKinnon .

Vidare läsning

•   domare, George G.; Griffiths, William E.; Hill, R. Carter; Lee, Tsoung-Chao (1980). Ekonometrins teori och praktik . New York: Wiley. s. 180–183. ISBN 0-471-05938-2 .
•   Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics (andra upplagan). New York: Macmillan. s. 302–320 . ISBN 0-02-365070-2 .