Porteous formel

Inom matematik är Porteous -formeln , eller Thom-Porteous-formeln , eller Giambelli-Thom-Porteous-formeln , ett uttryck för den grundläggande klassen av en degenerationslokus (eller determinantal variation ) av en morfism av vektorbuntar i termer av Chern-klasser . Giambellis formel är ungefär specialfallet när vektorbuntarna är summor av linjebuntar över projektivt utrymme. Thom ( 1957 ) påpekade att grundklassen måste vara ett polynom i Chern-klasserna och fann detta polynom i några speciella fall, och Porteous ( 1971 ) fann polynomet i allmänhet. Kempf & Laksov (1974) visade en mer allmän version, och Fulton (1992) generaliserade den ytterligare.

Påstående

Givet en morfism av vektorbuntarna E , F av rangorden m och n över en jämn variant, är dess k -te degenerationslokus ( k ≤ min( m , n )) variationen av punkter där den har rang som högst k . Om alla komponenter i degenerationslokuset har den förväntade kodimensionen ( m – k )( n – k ) så anger Porteous formel att dess fundamentala klass är determinanten för matrisen av storlek m – k vars ( i , j ) ingång är Chern. klass c _{n – k + j – i} ( F – E ).

•    Fulton, William (1992), "Flaggor, Schubert polynomials, degeneracy loci, and determinantal formulas", Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi : 10.1215/S0012-7094-92-06516-001 , ISSN -7094 , MR 1154177
•    Kempf, G.; Laksov, D. (1974), "The determinantal formula of Schubert calculus", Acta Mathematica , 132 : 153–162, doi : 10.1007/BF02392111 , ISSN 0001-5962 , MR 0338006
•    Porteous, Ian R. (1971) [1962], "Simple singularities of maps", Proceedings of Liverpool Singularities Symposium, I (1969/70) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 192, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 286–307, doi : 10.1007/BFb0066829 , ISBN 978-3-540-05402-3 , MR 0293646
• Thom, René (1957), Les ensembles singuliers d'une application différentiable et leurs propriétés homologiques , Séminaire de Topologie de Strasbourg