Poly-Bernoulli nummer

I matematik $B_{n}^{(k)}$ poly-Bernoulli-tal , betecknade som ) , av M. Kaneko som

${Li_{k}(1-e^{-x}) \over 1-e^{-x}}=\summa _{n=0}^{\infty }B_{n}^{( k)}{x^{n} \över n!}$

där Li är polylogaritmen . B $B_{n}^{(1)}$ de vanliga Bernoulli-talen .

Generaliseringen av poly-Bernoulli-tal med a,b,c-parametrar definierade enligt följande

${Li_{k}(1-(ab)^{-x}) \över b^{x}-a^{-x}}c^{xt}=\summa _{n=0}^ {\infty }B_{n}^{(k)}(t;a,b,c){x^{n} \över n!}$

där Li är polylogaritmen .

Kaneko gav också två kombinatoriska formler:

$m+1)^{k},$

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\summa _{m=0}^{n}(-1)^{m+n} m!S(n,m)$

$B_{n}^{(-k)}=\summa _{j=0}^{\min(n,k)}(j!)^{ 2}S(n+1,j+1)S(k+1,j+1),$

där $S(n,k)$ är antalet sätt att partitionera en storlek $n$ inställd i $k$ icke-tomma delmängder ( Stirlingnumret för andra sorten ).

En kombinatorisk tolkning är att poly-Bernoulli-talen för negativt index räknar upp mängden $n$ med ${\displaystyle k} ($ 0,1)-matriser som är unikt rekonstruerbara från deras rad- och kolumnsummor. Det är också antalet öppna turer av ett partiskt torn på ett bräde $\underbrace {1\cdots 1} _{n}\underbrace {0\cdots 0} _{k}$ (se A329718 för definition).

Poly-Bernoulli-talet $B_{k}^{(-k)}$ uppfyller följande asymptotiska:

$B_{k}^{(-k)}\sim (k!)^{2}{\sqrt {\frac {1}{k\pi (1-\log 2)}}}\left( {\frac {1}{\log 2}}\right)^{2k+1},\quad {\text{as }}k\rightarrow \infty .$

För ett positivt heltal n och ett primtal p uppfyller poly-Bernoulli-talen

$B_{n}^{(-p)}\equiv 2^{n}{\pmod {p}},$

som kan ses som en analog till Fermats lilla teorem . Vidare ekvationen

$B_{x}^{(-n)}+B_{y}^{(-n)}=B_{z }^{(-n)}$

har ingen lösning för heltal x , y , z , n > 2; en analog till Fermats sista sats . Dessutom finns det en analog av Poly-Bernoulli-tal (som Bernoulli-tal och Euler-tal) som är kända som Poly-Euler-tal.

Se även

• Bernoullis siffror
• Stirling siffror
• Gregorius koefficienter
• Bernoulli polynom
• Bernoulli polynom av det andra slaget
• Stirlingpolynom

•    Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999a), "Flera zetavärden, poly-Bernoulli-tal och relaterade zetafunktioner" , Nagoya Mathematical Journal , 153 : 189–209, doi : 10.1017 /S0027763000 800695 , 4C 7 6 7 6 7 6 5 6 500 500 501 63 .
•   Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999b), "On poly-Bernoulli numbers", Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 48 (2): 159–167, MR 1713681
•   Brewbaker, Chad (2008), "En kombinatorisk tolkning av poly-Bernoulli-talen och två Fermat-analoger" , Integers , 8 : A02, 9, MR 2373086 .
•   Hamahata, Y.; Masubuchi, H. (2007), "Special multi-poly-Bernoulli numbers", Journal of Integer Sequences , 10 (4), Artikel 07.4.1, Bibcode : 2007JIntS..10...41H , MR 2304359 .
• Kaneko, Masanobu (1997), "Poly-Bernoulli numbers" , Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux , 9 (1): 221–228, doi : 10.5802 /jtnb.197 , hdl : 2324/21658 6 9 6 9   .