Perifokalt koordinatsystem

"PQW" omdirigerar hit. För språkkoden, se ISO 639:pqw .

Det perifokala koordinatsystemet (med enhetsvektorerna p, q, w), mot referenskoordinatsystemet (med enhetsvektorerna I, J, K)

Det perifokala koordinatsystemet ( PQW ) är en referensram för en bana . Ramen är centrerad vid omloppsbanans fokus, dvs den himlakropp kring vilken omloppsbanan är centrerad. Enhetsvektorerna $\mathbf {\hat {p}}$ och $\mathbf {\hat {q}}$ ligger i banans plan. $\mathbf {\hat {p}}$ är riktad mot omloppsbanan och $\mathbf {\hat {q}}$ har en sann anomali ( $\theta$ ) på 90 grader förbi periapsis. Den tredje enhetsvektorn $\mathbf {\hat {w}}$ är rörelsemängdsvektorn och är riktad ortogonalt mot orbitalplanet så att:

$$\mathbf {\hat {w}} =\mathbf {\hat {p}} \times \mathbf {\hat {q}}$$

Och eftersom $\mathbf {\hat {w}}$ är vinkelmomentvektorn, kan den också uttryckas som:

$$\mathbf {\hat {w}} ={\frac {\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}$$

där h är den specifika relativa rörelsemängden.

Positions- och hastighetsvektorerna kan bestämmas för vilken plats som helst i omloppsbanan. Positionsvektorn, r , kan uttryckas som:

$$\mathbf {r} =r\cos \theta \mathbf {\hat {p}} +r\sin \theta \mathbf {\hat { q}}$$

där $\theta$ är den sanna anomalien och radien $r=\|\mathbf {r} \|$ kan beräknas från omloppsekvationen .

Hastighetsvektorn, v , hittas genom att ta tidsderivatan av positionsvektorn:

$$\mathbf {v} \dot {r}} =({\dot {r}}\cos \theta -r{\dot {\theta }}\sin \theta )\mathbf {\hat {p}} +({\dot {r }}\sin \theta +r{\dot {\theta }}\cos \theta )\mathbf {\hat {q}}$$

En härledning från omloppsekvationen kan göras för att visa att:

$${\dot {r}}={\frac {\mu }{h}}e\sin \theta$$

där $\mu$ är gravitationsparametern för fokus, h är det specifika relativa vinkelmomentet för orbitalkroppen, e är excentriciteten för banan och $\theta$ är den sanna anomalien. ${\dot {r}}$ är den radiella komponenten av hastighetsvektorn (som pekar inåt mot fokus) och $r{\dot {\theta }}$ är den tangentiella komponenten av hastighetsvektorn. Genom att ersätta ekvationerna för ${\dot {r}}$ och $r{\dot {\theta }}$ i hastighetsvektorekvationen och förenkla, den slutliga formen av hastighetsvektorn ekvationen erhålls som:

$$\mathbf {v} ={\frac {\mu }{h}}\left[-\sin \theta \mathbf {\hat {p}} +(e+\cos \theta )\mathbf {\hat {q}} \right]$$

Konvertering mellan koordinatsystem

Det perifokala koordinatsystemet kan också definieras med hjälp av orbitalparametrarna inclination ( i ), höger uppstigning av den stigande noden ( $\Omega$ ) och argumentet för periapsis ( $\omega$ ). Följande ekvationer konverterar från perifokala koordinater till ekvatoriska koordinater och vice versa.

Perifokal till ekvatorial

$${\begin{bmatrix}x_{\text{equatorial}}\\y_{\text{equatorial}}\\z_{\text{equatorial}} \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \Omega \cos \omega -\sin \Omega \cos i\sin \omega &-\cos \Omega \sin \omega -\sin \Omega \cos i\cos \omega &\sin \Omega \sin i\\\sin \Omega \cos \omega +\cos \Omega \cos i\sin \omega &-\sin \Omega \sin \omega +\cos \Omega \cos i\cos \omega &-\cos \Omega \sin i\\\sin i\sin \omega &\sin i\cos \omega &\cos i\\\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}x_{\text{perifocal}}\\y_{\text{perifocal}}\\z_{\text{perifocal}}\\\end{bmatrix}}$$

I de flesta fall är $z_{\text{perifocal}}=0$ .

Ekvatorial till perifokal

$${\begin{bmatrix}x_{\text{perifocal}}\\y_{\text{perifocal}}\\z_{\text{perifocal}} \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \Omega \cos \omega -\sin \Omega \cos i\sin \omega &\sin \Omega \cos \omega +\cos \Omega \ cos i\sin \omega &\sin i\sin \omega \\-\cos \Omega \sin \omega -\sin \Omega \cos i\cos \omega &-\sin \Omega \sin \omega +\cos \Omega \cos i\cos \omega &\sin i\cos \omega \\\sin \Omega \sin i&-\cos \Omega \sin i&\cos i\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix }x_{\text{equatorial}}\\y_{\text{equatorial}}\\z_{\text{equatorial}}\\\end{bmatrix}}$$

Ansökningar

Perifokala referensramar används oftast med elliptiska banor av den anledningen att $\mathbf {\hat {p}}$ koordinaten måste vara inriktad med excentricitetsvektorn . Cirkulära banor , utan excentricitet, ger inga medel för att orientera koordinatsystemet kring fokus.

Det perifokala koordinatsystemet kan också användas som en tröghetsreferensram eftersom axlarna inte roterar i förhållande till fixstjärnorna. Detta gör att trögheten hos alla orbitala kroppar inom denna referensram kan beräknas. Detta är användbart när du försöker lösa problem som tvåkroppsproblemet .