Peres–Horodecki-kriteriet

Peres –Horodecki-kriteriet är ett nödvändigt villkor för att fogdensitetsmatrisen ρ $\displaystyle \rho }$ för två kvantmekaniska system $A$ och $B$ ska vara separerbar . Det kallas också PPT- kriteriet, för positiv partiell transponering . I fallen 2×2 och 2×3 är villkoret också tillräckligt. Det används för att bestämma separerbarheten av blandade tillstånd , där Schmidt-nedbrytningen inte gäller. Satsen upptäcktes 1996 av Asher Peres och familjen Horodecki ( Michał , Paweł och Ryszard )

I högre dimensioner är testet ofullständigt, och man bör komplettera det med mer avancerade tester, som de som baseras på förvecklingsvittnen .

Definition

Om vi ​​har ett allmänt tillstånd $\rho$ som verkar på ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$

$\rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$

Dess partiella transponering (med avseende på B-parten) definieras som

$\rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes ( |k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\summa _ {ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$

Observera att partialen i namnet antyder att endast en del av staten är införlivad. Närmare bestämt, ( $\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$ är identitetskartan som tillämpas på A-partiet och transponeringskartan som tillämpas på B-partiet.

Denna definition kan ses tydligare om vi skriver tillståndet som en blockmatris:

$\rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n }\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}$

Där $n=\dim {\mathcal {H}}_{A}$ , och varje block är en kvadratisk matris med dimensionen $m=\dim { \mathcal {H}}_{B}$ . Då är den partiella transponeringen

$\rho ^{T_{B}}={\begin{ pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\ \vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}$

Kriteriet säger att om $\rho \;\!$ är separerbar så är alla egenvärden för $\rho ^{T_{B}}$ icke-negativa. Med andra ord, om $\rho ^{T_{B}}$ har ett negativt egenvärde, är $\rho \;\!$ garanterat intrasslad . Motsatsen till dessa påståenden är sann om och endast om dimensionen på produktutrymmet är $2\times 2$ eller $2\times 3$ .

Resultatet är oberoende av partiet som införlivades, eftersom $\rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}$ .

Exempel

Tänk på den här 2-qubit-familjen av Werner säger :

$\rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}$

Det kan betraktas som den konvexa kombinationen av $|\Psi ^{-}\rangle$ , ett maximalt intrasslat tillstånd , och identitetselementet, ett maximalt blandat tillstånd.

Dess densitetsmatris är

$\rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\ \0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}$

och den partiella transponeringen

$\rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{ \begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}$

Dess minsta egenvärde är $(1-3p)/4$ . Därför $geq p>1/3}$ tillståndet intrasslat för \

Demonstration

Om ρ är separerbar kan den skrivas som

$\rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}$

I det här fallet är effekten av den partiella införlivandet trivial:

$\rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )= \sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}$

Eftersom transponeringskartan bevarar egenvärden är spektrumet för $(\rho _{i}^{B})^{T}$ detsamma som spektrumet för $\ rho _{i}^{B}\;\!$ , och i synnerhet $(\rho _{i}^{B})^{T}$ fortfarande vara positiv semidefinit. Således $\rho ^{T_{B}}$ också vara positiv semidefinit. Detta bevisar nödvändigheten av PPT-kriteriet.

Att visa att det är tillräckligt att vara PPT också för fallen 2 X 2 och 3 X 2 (motsvarande 2 X 3) är mer involverat. Det visades av Horodeckis att för varje intrasslat tillstånd finns det ett intrasslingsvittne . Detta är ett resultat av geometrisk natur och åberopar Hahn-Banach-satsen (se referens nedan).

Från förekomsten av förvecklingsvittnen kan man visa att $I\otimes \Lambda (\rho )$ är positiv för alla positiva kartor Λ är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för separerbarheten av ρ, där Λ mappar $B({\mathcal {H}}_{B})$ till $B({\mathcal {H}}_{A})$

Dessutom, varje positiv karta från $B({\mathcal {H}}_{B})$ till $B({\mathcal {H}}_{A })$ kan delas upp i en summa av helt positiva och helt kopositiva kartor, när ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2$ och ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {eller}}\;3$ . Med andra ord kan varje sådan karta Λ skrivas som

$\Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,$

där $\Lambda _{1}$ och $\Lambda _{2}$ är helt positiva och T är transponeringskartan. Detta följer av Størmer-Woronowicz-satsen.

Löst sett är transpositionskartan därför den enda som kan generera negativa egenvärden i dessa dimensioner. Så om $\rho ^{T_{B}}$ är positiv, är $I\otimes \Lambda (\rho )$ positivt för alla Λ. Därför drar vi slutsatsen att Peres–Horodecki-kriteriet också är tillräckligt för separerbarhet när ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes { \mathcal {H}}_{B})\leq 6$ .

I högre dimensioner finns det dock kartor som inte kan dekomponeras på detta sätt, och kriteriet är inte längre tillräckligt. Följaktligen finns det intrasslade tillstånd som har en positiv partiell transponering. Sådana tillstånd har den intressanta egenskapen att de är bundna intrasslade , dvs de kan inte destilleras för kvantkommunikationsändamål .

Kontinuerliga variabla system

Peres-Horodecki-kriteriet har utvidgats till kontinuerligt variabla system. Rajiah Simon formulerade en speciell version av PPT-kriteriet i termer av andra ordningens moment för kanoniska operatorer och visade att det är nödvändigt och tillräckligt för $1\oplus 1$ -mode Gaussiska tillstånd (se Ref. för ett till synes annorlunda men i huvudsak likvärdigt tillvägagångssätt). Det visade sig senare att Simons tillstånd också är nödvändigt och tillräckligt för $1\oplus n$ -mode gaussiska tillstånd, men inte längre tillräckligt för $2\oplus 2$ -mode gaussiska tillstånd. Simons tillstånd kan generaliseras genom att ta hänsyn till de högre ordningens moment av kanoniska operatorer eller genom att använda entropiska mått.

Symmetriska system

För symmetriska tillstånd av tvådelade system är positiviteten hos den partiella transponeringen av densitetsmatrisen relaterad till tecknet på vissa tvåkroppskorrelationer. Här betyder symmetri det

$\rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,$

gäller, där $F_{AB}$ är flip- eller swap-operatorn som byter ut de två parterna $A$ och $B$ . En fullständig bas för det symmetriska delrummet är av formen ${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}} med$ m $\displaystyle m\neq n}$ och $\vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.$ Här för $n$ och $m,$${\ displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$ måste gälla, där $d$ är dimensionen för de två parterna.

Det kan visas att för sådana tillstånd har $\rho$ en positiv partiell transponering om och endast om

$\langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0$

gäller för alla operatörer $M.$ Därför, om $\langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0$ gäller för någon $M$ så har staten icke- PPT intrassling .

• Karol Życzkowski och Ingemar Bengtsson, Geometry of Quantum States , Cambridge University Press, 2006
• Woronowicz, SL (1976). "Positiva kartor över lågdimensionella matrisalgebror". Rep Math. Phys . 10 (2): 165–183. Bibcode : 1976RpMP...10..165W . doi : 10.1016/0034-4877(76)90038-0 .