Pappus kedja

En Pappus-kedja

I geometrin är Pappuskedjan en ring av cirklar mellan två tangentcirklar som undersöktes av Pappus av Alexandria på 300- talet e.Kr.

Konstruktion

Arbelos definieras av två cirklar, C _U och C _V , som är tangent i punkten A och där C _U omges av C _V . Låt radierna för dessa två cirklar betecknas som r _{U respektive} r _V , och låt deras respektive centrum vara punkterna U och V . Pappuskedjan består av cirklarna i det skuggade grå området, som externt tangerar C _U (den inre cirkeln) och internt tangerar C _V (den yttre cirkeln). Låt radien, diametern och mittpunkten för den n ^:te cirkeln i Pappuskedjan betecknas som r _n , d _n respektive P _n .

Egenskaper

Cirklarnas centrum

Ellips

Alla centra i cirklarna i Pappus-kedjan är belägna på en vanlig ellips , av följande anledning. Summan av avstånden från den n: ^te cirkeln i Pappuskedjan till de två centra U och V i arbeloscirklarna är lika med en konstant

${\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf { U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}- r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}$

Således är brännpunkterna för denna ellips U och V , centra för de två cirklarna som definierar arbelos; dessa punkter motsvarar mittpunkterna för linjesegmenten AB respektive AC .

Om r = AC / AB , då är mitten av den n: te cirkeln i kedjan:

$\left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r] }}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right)$

Cirklarnas radier

Om r = AC / AB , då är radien för den n :te cirkeln i kedjan:

$r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}( 1-r)^{2}+r]}}$

Cirkelinversion

Under en speciell inversion centrerad på A , omvandlas de fyra initiala cirklarna i Pappus-kedjan till en stapel av fyra lika stora cirklar, inklämda mellan två parallella linjer. Detta förklarar höjdformeln h _n = n d _n och det faktum att de ursprungliga tangenspunkterna ligger på en gemensam cirkel.

₀ Höjden h _n för mitten av den n: ^te cirkeln ovanför basdiametern ACB är lika med n gånger d _n . Detta kan visas genom att invertera i en cirkel centrerad på tangentpunkten A . Inversionscirkeln är vald för att skära den n: ^e cirkeln vinkelrätt, så att den n: ^te cirkeln förvandlas till sig själv. De två arbeloscirklarna, C _U och CV , omvandlas till parallella linjer som tangerar och lägger in den _n : ^te cirkeln; följaktligen omvandlas de andra cirklarna i Pappus-kedjan till liknande inklämda cirklar med samma diameter. Den initiala cirkeln C och den sista cirkeln C _n bidrar vardera med ½ d _n till höjden h _n , medan cirklarna C ₁ – C _{n −1} var och en bidrar med d _n . Att addera dessa bidrag tillsammans ger ekvationen h _n = n d _n .

Samma inversion kan användas för att visa att de punkter där Pappus-kedjans cirklar tangerar varandra ligger på en gemensam cirkel. Som noterats ovan, inversionen centrerad vid punkt A arbeloscirklarna C _U och C _V till två parallella linjer, och cirklarna i Pappus-kedjan till en stapel av lika stora cirklar inklämda mellan de två parallella linjerna. Därför ligger tangenspunkterna mellan de transformerade cirklarna på en linje mitt emellan de två parallella linjerna. Genom att ångra inversionen i cirkeln omvandlas denna linje med tangentpunkter tillbaka till en cirkel.

Steiner kedja

I dessa egenskaper att ha centra på en ellips och tangenser på en cirkel, är Pappus-kedjan analog med Steiner-kedjan , där ändligt många cirklar tangerar två cirklar.

Bibliografi

•   Ogilvy, CS (1990). Utflykter i geometri . Dover. s. 54–55 . ISBN 0-486-26530-7 .
• Bankoff, L. (1981). "Hur gjorde Pappus?". I Klarner, DA (red.). Den matematiska Gardner . Boston: Prindle, Weber och Schmidt. s. 112–118.
•   Johnson, RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: En elementär avhandling om triangelns och cirkelns geometri (omtryck av 1929 års upplaga av Houghton Mifflin red.). New York: Dover Publications. s. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0 .
•   Wells, D. (1991). Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . New York: Penguin Books. s. 5–6 . ISBN 0-14-011813-6 .

externa länkar

• Floer van Lamoen och Eric W. Weisstein. "Pappus-kedjan" . MathWorld .
• Tan, Stephen. "Arbelos" .