I matematik begränsar Paley -Zygmund-ojämlikheten sannolikheten att en positiv slumpvariabel är liten, vad gäller dess första två moment . Ojämlikheten bevisades av Raymond Paley och Antoni Zygmund .
Sats : Om Z ≥ 0 är en slumpvariabel med finit varians, och om 
, då
![{\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq (1-\theta )^{2}{\frac {\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [Z^{2}]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d215506063bd4c6d27d04808bcb94387d7931d7)
Bevis : Först,
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z\leq \theta \operatorname {E} [Z]\}}]+\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1771609dffe911af2dcaa45558284564b75f5ef)
Det första tillägget är högst ![\theta \operatorname {E}[Z]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5ac7cb0d70052cc97d4764e91cc2f0bc62bbd7)
medan det andra är högst ![{\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c221fb2f965cdbb850e7e5c2daa860ba95110865)
av Cauchy–Schwarz-ojämlikheten . Den önskade ojämlikheten följer sedan. ∎
Relaterade ojämlikheter
Paley-Zygmund-ojämlikheten kan skrivas som
![{\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+\operatorname {E} [Z]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eb36ae16ffe077072e03d9db8855632f5dd47e)
Detta kan förbättras. Genom ojämlikheten mellan Cauchy och Schwarz ,
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z-\theta \operatorname {E} [Z]]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9dea4705e5d7f39aaa9765aa7b89f47353559b)
vilket, efter omarrangering, innebär det
![{\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]}}={\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bce3bc5bd01a6479c20603a21fd1daa8162c826)
Denna ojämlikhet är skarp; Likhet uppnås om Z nästan säkert är lika med en positiv konstant.
I sin tur innebär detta en annan bekväm form (känd som Cantellis ojämlikhet ) som är
där ![{\displaystyle \mu =\operatorname {E} [Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e922da6579c3170c175ef28a25f362eb7c4833d)
och ![{\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} [Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4403b7c530b5541bae6356431b2ff2c7bddf63c)
. Detta följer av substitutionen 
giltig när 
.
En förstärkt form av Paley-Zygmund-olikheten säger att om Z är en icke-negativ slumpvariabel så
![{\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z\mid Z>0])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [Z^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050239d865ee5225d6950e655f86a671ac5183cc)
för varje . Denna olikhet följer genom att tillämpa den vanliga Paley-Zygmund-olikheten på den villkorliga fördelningen av Z givet att den är positiv och notera att de olika faktorerna för 
avbryter .
Både denna olikhet och den vanliga Paley-Zygmund-ojämlikheten tillåter också 
versioner: Om Z är en icke-negativ slumpvariabel och 
så
![{\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z\mid Z>0])\geq {\frac {(1-\theta )^{p/(p-1)}\,\operatorname {E} [Z]^{p/(p-1)}}{\operatorname {E} [Z^{p}]^{1/(p-1)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340272ea66f5f6253d4c426fd7e75124c51a9083)
för varje . Detta följer av samma bevis som ovan men med hjälp av Hölders ojämlikhet i stället för Cauchy-Schwarz-ojämlikheten.
Se även
Vidare läsning