PDE yta

PDE-ytor används i geometrisk modellering och datorgrafik för att skapa släta ytor som överensstämmer med en given gränskonfiguration. PDE-ytor använder partiella differentialekvationer för att generera en yta som vanligtvis uppfyller ett matematiskt gränsvärdesproblem .

PDE-ytor introducerades först i området för geometrisk modellering och datorgrafik av två brittiska matematiker, Malcolm Bloor och Michael Wilson.

Tekniska detaljer

PDE-metoden innebär att generera en yta för någon gräns genom att lösa en elliptisk partiell differentialekvation av formen

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial u^{2} }}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v^{2}}}\right)^{2}X(u,v)=0.$

Här är $X(u,v)$ en funktion parametriserad av de två parametrarna $u$ och $v$ så att $X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v) )$ där $x$ , $y$ och $z$ är det vanliga kartesiska koordinatutrymmet . Gränsvillkoren för funktionen $X(u,v)$ och dess normalderivator $\partial {X}/\partial {n}$ läggs på kanterna på ytlappen.

Med ovanstående formulering är det anmärkningsvärt att den elliptiska partiella differentialoperatorn i ovanstående PDE representerar en utjämningsprocess där värdet av funktionen vid någon punkt på ytan i någon mening är ett viktat medelvärde av de omgivande värdena. På så sätt erhålls en yta som en mjuk övergång mellan den valda uppsättningen av randvillkor . Parametern $a$ är en speciell designparameter som styr den relativa utjämningen av ytan i riktningarna $u$ och ${\displaystyle v} .$

När $a=1$ är PDE den biharmoniska ekvationen : $X_{uuuu}+2X_{uuvv} +X_{vvvv}=0$ . Den biharmoniska ekvationen är ekvationen som skapas genom att applicera Euler-Lagrange-ekvationen på den förenklade tunnplåtsenergifunktionella $X_{uu}^{2}+2X_{ uv}^{2}+X_{vv}^{2}$ . Så att lösa PDE med $a=1$ är ekvivalent med att minimera den funktionella tunnplåtsenergin under samma randvillkor.

Ansökningar

PDE-ytor kan användas i många applikationsområden. Dessa inkluderar datorstödd design , interaktiv design, parametrisk design, datoranimering , datorstödd fysisk analys och designoptimering.

1. MIG Bloor och MJ Wilson, Generating Blend Surfaces using Partial Differential Equations , Computer Aided Design, 21(3), 165-171, (1989).
2. H. Ugail , MIG Bloor och MJ Wilson, Techniques for Interactive Design Using the PDE Method , ACM Transactions on Graphics , 18(2), 195-212, (1999).
3. J. Huband, W. Li och R. Smith, An Explicit Representation of Bloor-Wilson PDE Surface Model by using Canonical Basis for Hermite Interpolation, Mathematical Engineering in Industry, 7(4), 421-33 (1999).
4. H. Du och H. Qin, Direct Manipulation and Interactive Sculpting of PDE-ytor , Computer Graphics Forum, 19(3), C261-C270, (2000).
5. H. Ugail, Spine Based Shape Parameterizations for PDE-ytor , Computing, 72, 195--204, (2004).
6. L. You, P. Comninos, JJ Zhang, PDE Blending Surfaces with C2 Continuity , Computers and Graphics, 28(6), 895-906, (2004).

externa länkar

• Simuleringsbaserad design, DVE-forskning (University of Bradford, UK) . (En java-applet som visar egenskaperna hos PDE-ytor)
• Inst för tillämpad matematik, University of Leeds detaljer om Bloor och Wilsons arbete.