Orsaksfilter

Vid signalbehandling är ett kausalfilter ett linjärt och tidsinvariant kausalsystem . Ordet kausal indikerar att filterutgången endast beror på tidigare och nuvarande ingångar. Ett filter vars utdata också beror på framtida insignaler är icke-kausalt , medan ett filter vars utsignal endast beror på framtida input är anti-kausalt . System (inklusive filter) som är realiserbara (dvs. som fungerar i realtid ) måste vara orsakssamband eftersom sådana system inte kan agera på en framtida indata. I själva verket betyder det att det utdataprov som bäst representerar ingången vid tidpunkten $t,$ kommer ut något senare. En vanlig designpraxis för digitala filter är att skapa ett realiserbart filter genom att förkorta och/eller tidsförskjuta ett icke-kausalt impulssvar. Om förkortning är nödvändig, utförs det ofta som produkten av impulssvaret med en fönsterfunktion .

Ett exempel på ett anti-kausalt filter är ett maximalt fasfilter , som kan definieras som ett stabilt , anti-kausalt filter vars invers också är stabil och anti-kausal.

Varje komponent av kausalfilterutgången börjar när dess stimulans börjar. Utsignalerna från det icke-kausala filtret börjar innan stimulansen börjar.

Exempel

Följande definition är ett glidande (eller "glidande") medelvärde av indata $s(x)\,$ . En konstant faktor på 1/2 utelämnas för enkelhetens skull:

$f(x)=\int _{x-1}^{ x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,$

där x skulle kunna representera en rumslig koordinat, som vid bildbehandling. Men om $x\,$ representerar tid $(t)\,$ , så är ett glidande medelvärde definierat på det sättet icke-kausalt (även kallat icke-realiserbart ), eftersom ${ \displaystyle f(t)\,}$ beror på framtida indata, såsom $s(t+1)\,$ . En realiserbar utgång är

$f(t-1)=\int _{-2}^{0 }s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,$

som är en fördröjd version av den icke realiserbara utdata.

Alla linjära filter (som ett glidande medelvärde) kan karakteriseras av en funktion h ( t ) som kallas dess impulssvar . Dess utgång är faltningen

$f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,$

I dessa termer kräver kausalitet

$f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau ) \,d\tau$

och allmän likhet mellan dessa två uttryck kräver h ( t ) = 0 för alla t < 0.

Karakterisering av kausala filter i frekvensdomänen

Låt h ( t ) vara ett kausalfilter med motsvarande Fouriertransform H (ω). Definiera funktionen

$g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}$

vilket är icke-kausalt. Å andra sidan är g ( t ) hermitisk och följaktligen är dess Fouriertransform G (ω) reellt värderad. Vi har nu följande relation

$h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,$

där Θ( t ) är Heaviside-enhetsstegfunktionen .

Detta betyder att Fouriertransformerna av h ( t ) och g ( t ) är relaterade enligt följande

$H(\omega )=\left(\delta (\omega) )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,$

där ${\widehat {G}}(\omega )\,$ är en Hilbert-transform gjord i frekvensdomänen (snarare än tidsdomänen). Tecknet för ${\widehat {G}}(\omega )\,$ kan bero på definitionen av Fouriertransformen.

Att ta Hilbert-transformen av ekvationen ovan ger detta samband mellan "H" och dess Hilbert-transform:

${\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )$

•   Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (september 2007), Numerical Recipes (3:e upplagan), Cambridge University Press, sid. 767, ISBN 9780521880688
• Rowell (januari 2009), Fastställande av ett systems kausalitet utifrån dess frekvenssvar (PDF) , MIT OpenCourseWare