Orienterad projektiv geometri

Oriented projective geometry är en orienterad version av verklig projektiv geometri .

Medan det verkliga projektiva planet ^beskriver uppsättningen av alla oorienterade linjer genom origo i R3 , beskriver det orienterade projektiva planet linjer med en given orientering. Det finns applikationer inom datorgrafik och datorseende där det är nödvändigt att skilja mellan strålar ljus som sänds ut eller absorberas av en punkt.

Element i ett orienterat projektivt utrymme definieras med hjälp av signerade homogena koordinater . Låt $\mathbb {R} _{*}^{n}$ vara uppsättningen av element i $\mathbb {R} ^{n}$ exklusive ursprunget.

1. Orienterad projektiv linje , $\mathbb {T} ^{1}$ : $(x,w)\in \mathbb {R} _{*}^{ 2}$ , med ekvivalensrelationen $(x,w)\sim (ax,aw)\,$ för alla $a>0$ .
2. Orienterat projektivt plan , $\mathbb {T} ^{2}$ : $(x,y,w)\in \mathbb {R} _{ *}^{3}$ , med $(x,y,w)\sim (ax,ay,aw)\,$ för alla $a>0$ .

Dessa utrymmen kan ses som förlängningar av det euklidiska rummet . $\mathbb {T} ^{1}$ kan ses som föreningen av två kopior av ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ uppsättningarna ( x ,1) och ( x ,-1) , plus två ytterligare poäng vid oändligheten, (1,0) och (-1,0). På samma sätt $\mathbb {T} ^{2}$ ses som två kopior av ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ,$ ( x , y ,1) och ( x , y ,-1), plus en kopia av $\mathbb {T}$ ( x , y ,0).

Ett alternativt sätt att se mellanrummen är som punkter på cirkeln eller sfären, givet av punkterna ( x , y , w ) med

x ² + y2 + w2 = ^{1 .}

Orienterat verkligt projektivt utrymme

Låt n vara ett icke-negativt heltal. Den (analytiska modellen av , eller kanoniskt) orienterat (verkligt) projektivt utrymme eller (kanoniskt) dubbelsidigt projektivt utrymme $\mathbb {T} ^{n}$ definieras som

$\mathbb {T} ^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {R} ^{n+ 1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}.$

Här använder vi $\mathbb {T}$ för att stå för dubbelsidig .

Avstånd i orienterat verkligt projektivt utrymme

Avstånd mellan två punkter $p=(p_{x},p_{y},p_{w})$ och $q=(q_{x},q_{y},q_{w})$ i $\mathbb {T} ^{2}$ definieras som element

$(( p_{x}q_{w}-q_{x}p_{w})^{2}+(p_{y}q_{w}-q_{y}p_{w})^{2},\mathrm { tecken} (p_{w}q_{w})(p_{w}q_{w})^{2})$

i $\mathbb {T} ^{1}$ .

Orienterad komplex projektiv geometri

Se även: Komplext projektivt utrymme

Låt n vara ett icke-negativt heltal. Det orienterade komplexa projektiva utrymmet ${\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}$ definieras som

${\mathbb { CP} }_{S^{1}}^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {C} ^ {n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\} \}$ . Här skriver vi $S^{1}$ för att stå för 1-sfären .

Se även

• Variationsanalys

Anteckningar

• 
    Stolfi, Jorge (1991). Orienterad projektiv geometri . Akademisk press . ISBN 978-0-12-672025-9 . Från originalet Stanford Ph.D. avhandling, Primitives for Computational Geometry , tillgänglig som [1] .
• 
    Ghali, Sherif (2008). Introduktion till geometrisk beräkning . Springer . ISBN 978-1-84800-114-5 . Trevlig introduktion till orienterad projektiv geometri i kapitel 14 och 15. Mer på författarens hemsida. Sherif Ghali .
•   Yamaguchi, Fujio (2002). Datorstödd geometrisk design: en helt fyrdimensionell metod . Springer. ISBN 978-4-431-68007-9 .
•   Nedan, Alexander; Krummeck, Vanessa; Richter-Gebert, Jurgen (2003). "Komplexa matroider: phirotoper och deras realiseringar i rang 2". I Aronov, Boris ; Basu, Saugata; Pach, Janos ; Sharir, Micha (red.). Diskret och beräkningsgeometri: The Goodman-Pollack Festschrift . Springer. s. 203–233. doi : 10.1007/978-3-642-55566-4 . ISBN 978-3-642-62442-1 .
• AG Oliveira, PJ de Rezende, FP SelmiDei En utökning av CGAL till det orienterade projektiva planet T2 och dess dynamiska visualiseringssystem, 21:a årliga ACM Symp. on Computational Geometry, Pisa, Italien, 2005.
•    Werner, Tomas (2003). "Kombinatoriska begränsningar på flera projektioner av en uppsättning punkter" . Proceedings nionde IEEE internationella konferens om datorseende : 1011–1016. doi : 10.1109/ICCV.2003.1238459 . ISBN 0-7695-1950-4 . S2CID 6816538 . Hämtad 26 november 2022 .