Optimal fördelning

Optimal fördelning är ett förhållningssätt till fördelning som bygger på matematisk optimering .

I ett fördelningsproblem finns det en resurs att allokera, betecknad med $h$ . Det kan till exempel vara ett heltal som representerar antalet platser i ett representanthus . Resursen bör allokeras mellan några $n$ agenter . Dessa kan till exempel vara federala stater eller politiska partier . Agenterna har olika rättigheter , betecknade med en vektor av bråk $t_{1},\ldots ,t_{n}$ med summan 1. Till exempel kan t _i vara bråket av röster vunnit av parti i . Målet är att hitta allokering - en vektor $a_{1},\ldots ,a_{n}$ med $\displaystyle \sum _{i =1}^{n}a_{i}=h}$ .

Den ideala andelen för agent i är hans/hennes kvot , definierad som $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ . Om det är möjligt att ge varje agent sin kvot så är tilldelningen maximalt rättvis. Exakt rättvisa är dock vanligtvis ouppnåelig, eftersom kvoterna inte är heltal och tilldelningarna måste vara heltal. Det finns olika tillvägagångssätt för att hantera denna svårighet (se fördelningsmatematik) . Det optimeringsbaserade tillvägagångssättet syftar till att till exempel uppnå en tilldelning som är "så rättvis som möjligt" för detta fall. En tilldelning är "rättvis" om $a_{i}=q_{i}$ för alla agenter i , det vill säga varje agents tilldelning är exakt proportionell mot hans/hennes berättigande. i det här fallet säger vi att "orättvisheten" i tilldelningen är 0. Om denna jämlikhet måste kränkas kan man definiera ett mått på "total orättvisa", och försöka minimera den.

Minimera summan av orättvisa nivåer

Det mest naturliga måttet är summan av orättvisa nivåer för enskilda agenter, som i den utilitaristiska regeln :

• Man kan minimera summan av skillnader ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}-q_{i}|} ,$ eller summan av kvadrater $\ summa _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})^{2}$ . Båda minimeringsproblemen löses med Hamiltons metod .
• Man kan vikta elementen i summan med populationen, eller motsvarande med kvoten, och försöka minimera $\sum _{i=1} ^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ . Detta leder till Websters metod .
• Man kan minimera summan av skillnader mellan förhållanden ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|} ,$ eller summan av kvadrater $\sum _{i=1}^{n}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ . Dessa mål ger två olika metoder.
• Man kan vikta elementen i summan med allokeringarna, och försöka minimera $\sum _{i=1}^{n}a_{ i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ . Detta leder till Hills metod .

Minimera de största orättvisorna

Man kan minimera den största orättvisan, som i den egalitära regeln :

• Man kan minimera $\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$ och fortsätt för att minimera den näst största orättvisan etc., med hjälp av leximinordningen . Detta ger en metod som kallas leximinfördelningsmetoden . Den utvecklades först av Biro, Koczy och Sziklai, som presenterade en effektiv algoritm för att beräkna den. Venedigkommissionens krav, att den maximala avvikelsen från jämn fördelning av föremål mellan agenter ska vara så liten som möjligt. Dess nackdel är att den bryter mot kvotregeln och alla monotonikriterier.
• Burt och Harris (1963) föreslog att minimera $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ .
• Att minimera $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ leder till Adams metod.
• Att minimera $\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ leder till Jeffersons metod.
• Det är också möjligt att maximera ${\displaystyle \min _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})} ,$ eller motsvarande, minimera $\max _{i=1}^{n}(q_{i}-a_{i})$ . Denna metod uppfyller båda kvoterna.
• Minimaxmetoden kan generaliseras till valfri prioriteringsordning på skälighetskriterierna.