Kvotregel

Inom matematik och statsvetenskap beskriver kvoteringsregeln en önskad egenskap hos en proportionell fördelning eller valmetod . Den anger att antalet mandat som ska tilldelas ett visst parti ska ligga mellan den övre eller nedre avrundningen (kallad övre och nedre kvot) av dess proportionella andel (kallad naturlig kvot). Som ett exempel, om ett parti förtjänar 10,56 mandat av 15, säger kvoteringsregeln att när mandaten tilldelas kan partiet få 10 eller 11 mandat, men inte lägre eller högre. Många vanliga valmetoder, som alla metoder för högsta medelvärde , bryter mot kvoteringsregeln.

Matematik

Om $P$ är partiets befolkning, $T$ är den totala befolkningen och $S$ är antalet tillgängliga platser, då är den naturliga kvoten för det partiet (antalet av platser som partiet helst skulle få) är

${\frac {P}{T}}\cdot S$

Den undre kvoten är då den naturliga kvoten avrundad nedåt till närmaste heltal medan den övre kvoten är den naturliga kvoten avrundad uppåt. Kvotningsregeln säger att de enda två tilldelningar som ett parti kan få ska vara antingen den nedre eller den övre kvoten. Om en tilldelning vid något tillfälle ger ett parti ett större eller färre antal mandat än den övre eller nedre kvoten, anses den tilldelningen (och i förlängningen den metod som används för att fördela den) strida mot kvoteringsregeln. Ett annat sätt att konstatera detta är att säga att en given metod bara uppfyller kvotregeln om varje parts tilldelning skiljer sig från sin naturliga kvot med mindre än ett, där varje parts tilldelning är ett heltalsvärde.

Exempel

Om det finns 5 lediga platser i rådet för en klubb med 300 medlemmar och parti A har 106 medlemmar, är den naturliga kvoten för parti A ${\frac {106}{300}} \cdot 5\approx 1.8$ . Den nedre kvoten för parti A är 1, eftersom 1,8 avrundat är lika med 1. Den övre kvoten, 1,8 avrundat uppåt, är 2. Därför säger kvoteringsregeln att de enda två tilldelningarna som tillåts för parti A är 1 eller 2 mandat i fullmäktige . Om det finns en andra part, B , som har 137 medlemmar, så anger kvotregeln att parti B får ${\frac {137}{300}}\cdot 5\approx 2.3$ , avrundat upp och ner motsvarar antingen 2 eller 3 platser. Slutligen har ett parti C med de återstående 57 medlemmarna i klubben en naturlig kvot på ${\displaystyle {\frac {57}{300}}\cdot 5\ca 0,95} ,$ vilket betyder dess tilldelade platser ska vara antingen 0 eller 1. Metoden för att faktiskt fördela platserna avgör i alla fall om en tilldelning bryter mot kvotregeln, vilket i det här fallet skulle innebära att man ger parti A andra platser än 1 eller 2, vilket ger parti B något annat än 2 eller 3, eller ge parti C något annat än 0 eller 1 mandat.

Förhållande till fördelningsparadoxer

Balinski -Young-satsen bevisade 1980 att om en fördelningsmetod uppfyller kvotregeln måste den misslyckas med att tillfredsställa någon fördelningsparadox . Till exempel, även om den största restmetoden uppfyller kvotregeln, bryter den mot Alabama-paradoxen och befolkningsparadoxen . Själva satsen är uppdelad i flera olika bevis som täcker ett stort antal omständigheter.

Specifikt finns det två huvudsakliga uttalanden som gäller kvotregeln:

• Varje metod som följer kvoteringsregeln måste misslyckas med befolkningsparadoxen.
• Varje metod som är fri från både Alabama-paradoxen och befolkningsparadoxen måste nödvändigtvis misslyckas med kvoteringsregeln under vissa omständigheter.

Använd i fördelningsmetoder

Olika metoder för att fördela platser kan eller kanske inte uppfyller kvotregeln. Även om många metoder bryter mot kvotregeln, är det ibland att föredra att bryta mot regeln mycket sällan än att bryta mot någon annan fördelningsparadox; vissa sofistikerade metoder bryter mot regeln så sällan att det aldrig har skett i en verklig fördelning, medan vissa metoder som aldrig bryter mot kvotregeln bryter mot andra paradoxer på mycket allvarligare sätt.

Den största resterande metoden uppfyller kvotregeln. Metoden fungerar genom att man proportionerar platser lika tills ett bråkvärde uppnås; överskottsmandaten ges sedan till partiet med de största bråkdelarna tills det inte finns fler överskottsmandat. Eftersom det är omöjligt att ge mer än ett överskottsmandat till ett parti kommer varje parti alltid att få antingen sin nedre eller övre kvot.

D' Hondt-metoden , även känd som Jefferson-metoden, bryter ibland mot kvotregeln genom att tilldela fler platser än den övre kvoten tillåts. Eftersom D'Hondt var den första metoden som användes för kongressfördelning i USA ledde denna kränkning till ett växande problem där större stater får fler representanter än mindre stater, vilket inte korrigerades förrän Webster/Sainte-Laguë-metoden implementerades 1842 ; även om Webster/Sainte-Laguë bryter mot kvoteringsregeln, händer det ytterst sällan.