Ofullständig information nätverksspel

Nätverksspel med ofullständig information representerar strategisk nätverksbildning när agenter inte i förväg känner till sina grannar, dvs nätverksstrukturen och värdet som härrör från att skapa förbindelser med angränsande agenter. I en sådan miljö har agenter tidigare övertygelser om värdet av att knyta an till sina grannar; vidta sina åtgärder baserat på deras tidigare övertygelse och uppdatera sin tro baserat på spelets historia. Även om spel med en fullt känd nätverksstruktur är allmänt tillämpliga, finns det många applikationer när spelare agerar utan att helt veta vem de interagerar med eller vad deras grannar kommer att göra.

Till exempel kan personer som väljer huvudämne på college formaliseras som ett nätverksspel med ofullkomlig information: de kanske vet något om antalet personer som tar det huvudämnet och kan dra slutsatser om arbetsmarknaden för olika huvudämne, men de vet inte med vilka de kommer att behöva interagera med, så de känner inte till nätverkets struktur.

Spelteoretisk formulering

I den här inställningen har spelare privat och ofullständig information om nätverket och denna privata information tolkas som spelarens egen typ (här privat kunskap om egen examen ). Betingat av sin egen grad, bildar spelare uppfattningar om sina grannars grader. Jämviktskonceptet för detta spel är Bayesian Nash Equilibrium . En spelares strategi är en kartläggning från spelarens grad till spelarens handling.

Låt $\textstyle \sigma _{(d)}\in [0,1]$ vara sannolikheten att en spelare av grad d väljer handling 1. För de flesta grader (d) åtgärden kommer att vara antingen 0 eller 1, men i vissa fall kan blandad strategi förekomma.

Graderna för i:s granne hämtas från en gradfördelning $\textstyle {\tilde {P}}$ , där $\textstyle {\tilde {P}}(d)={\frac {P(d)d}{\langle d\rangle }}$ approximerar fördelningen över en granngrad från konfigurationsmodellen med avseende på en gradsekvens som representeras av P.

Givet $\textstyle {\tilde {P}}$ är sannolikheten att en granne vidtar åtgärd 1: $\textstyle p_{\sigma }=\summa _{d}\sigma (d){\tilde {P}}(d)$ .

Asymptotiskt följer tron ​​att exakt m av de d grannarna till spelare i väljer åtgärd 1 en binomialfördelning $\textstyle \ {d_ {i} \choose m}p_{\sigma }^{m}(1-p_{\sigma })^{(d_{i}-m)}$ .

Således, den förväntade nyttan av spelare i av graden $\textstyle \ d_{i}$ som vidtar åtgärder $\textstyle \ x_{i}$ ges av: ${\displaystyle \textstyle \ U_{d_{i} }(x_{i},p_{\sigma })=\summa _{m=0}^{d_{i}}u_{d_{i}}(x_{i},m){d_{i} \ välj m}p_{\sigma }^{m}(1-p_{\sigma })^{(d_{i}-m)}} , där u d i {\displaystyle \textstyle \ u_$ { $} }}$ är utdelningen som motsvarar ett spel som spelas på en viss nätverksstruktur, där spelare väljer sina strategier och vet hur många länkar de kommer att ha men utan att veta vilket nätverk som kommer att realiseras, givet den ofullständiga informationen om länkbildningen hos grannar.

Förutsatt oberoende av grannarnas grader, kräver ovanstående formulering av spelet inte kunskap om den exakta uppsättningen av spelare. Nätverksspelet specificeras genom att definiera ett verktyg $\textstyle \ u_{d}$ för varje d och en fördelning av grannens grader $\textstyle {\tilde {P}}$ .

Den Bayesianska jämvikten i detta nätverksspel är en strategi $\textstyle \sigma (d)$ så att för varje d, om $\textstyle \sigma (d)>0$ , sedan $\textstyle \ U_{d}(1,p_{\sigma })\geq U_{d}(0,p_{\sigma })$ , och om $\textstyle \sigma (d)<1$ , då $\textstyle \ U_ {d}(1,p_{\sigma })\leq U_{d}(0,p_{\sigma })$ .

Exempel på imperfekt informationsspel som spelas på nätverk

Betrakta ett nätverksspel för lokalt tillhandahållande av allmännytta när agentens handlingar är strategiska substitut, (dvs. fördelen för individen av att utföra en viss åtgärd är inte större om hans partners utför samma åtgärd) sålunda, i fallet med strategiska substitut, jämvikt handlingar är icke-ökande i spelarens grader.

Definiera en ändlig uppsättning spelare eller individer, $\textstyle N=\left\{1,...,n\right\}$ , ansluten i något nätverksförhållande.

Det enklaste ramverket är att tänka på ett oriktat nätverk, där två agenter antingen är anslutna eller inte.

Anslutningar representeras av närliggande matris ${\displaystyle \textstyle \ g\in \left\{0,1\right\}^{n\times n}} ,$ med $\textstyle \ g_{ij}=1$ , vilket antyder att i:s utdelning påverkas av j:s beteende.

Konventionellt är $\textstyle \ g_{ii}=0$ för alla $\textstyle \ i\in N$ .

Definiera uppsättningen grannar till spelare $\textstyle \ i$ som $\textstyle \ N_{i}(g)=\left\{j|g_{ij}=1\right\}$ .

Antalet anslutningar för spelare $\textstyle \ i$ , dvs dess grad ges av $\textstyle \ k_{i}(g)=|N_{i}(g)|$ .

Varje individ måste självständigt välja en åtgärd i ${\displaystyle \textstyle \ X=\left\{0,1\right\}} ,$ där 1 anger att man utför den åtgärden och 0 anger att man inte gör det.

Payoff definieras som ${\displaystyle \textstyle \ y_{i}\equiv x_{i}+{\overline {x}}_{Ni}} ,$ vilket är summan av $\textstyle \ x_{i}$ , åtgärden vald av agent i och den aggregerade åtgärden i grannskapet definierad som $\textstyle {\overline {x }}_{Ni}\equiv \sum _{j\in N_{i}}x_{j}$ .

Bruttovinsten till agent i antas vara lika med 1 om ${\displaystyle \textstyle \ y_{i}\geq 1} ,$ och 0 annars. Att tillhandahålla allmännyttan, dvs. att välja åtgärd 1 kostar c, där $\textstyle \ 0<c<1$ , medan åtgärd 0 inte kostar någonting. Nettovinsten för spelet definieras som bruttovinsten minus kostnaden c. Med tanke på kostnaden skulle en agent föredra att någon i hans eller hennes grannskap vidtar åtgärd 1 och hellre inte vidtar åtgärden själv. Om någon annan i närheten av i bidrar, tillhandahålls allmännyttan och agent i åker snålskjuts . Men om ingen i närheten av i bidrar, skulle agenten i vara villig att bidra och vidta åtgärder 1.

Under ofullkomlig information (spelare bildar föreställningar om grannarnas grader, sammanfattade med en sannolikhetsfördelning ), kan en spelares rena strategi definieras som en kartläggning $\textstyle \sigma$ från grad k till handling $\textstyle \ X=\left\{0,1\right\}$ . Antag att mellan två av de N agenterna bildas en länk oberoende av varandra med sannolikheten $\textstyle \ p\in (0,1)$ . Sannolikheten för att en slumpmässigt utvald granne är av grad k är sannolikheten att grannen är kopplad till ytterligare k-1 agenter av de återstående N-2 agenterna och ges av:

$\textstyle \mathbb {Q} (k;p)={ N-2 \välj k-1}p^{(k-1)}(1-p)^{(Nk-1)}$ .

Om en agent av grad k väljer åtgärd 1 i jämvikt, följer det av gradens oberoende (förutsatt att n är oändligt stor) att en agent av grad k-1 står inför en lägre sannolikhet för att en godtycklig granne väljer åtgärd 1 och skulle vara bäst att svara med att välja åtgärd 1 också. Det kan visas att varje jämvikt kännetecknas av en tröskel. Beteckna med t det minsta heltal för vilket allmännyttan kommer att tillhandahållas: $\textstyle \ 1-{[1-\ summa _{k=1}^{t}Q(k;p)]}^{t}\geq 1-c$ .

En jämvikt $\textstyle \sigma$ måste uppfylla $\textstyle \sigma (k)=1$ för alla $\textstyle k<t$ , $\textstyle \sigma (k)=0$ för alla $\textstyle k>t$ och $\textstyle \ \sigma (t) \i [0,1]$ . Speciellt $\textstyle \sigma (k)$ icke-ökande.

Det kan ses att den underliggande nätverksstrukturen och relationen mellan nätverksanslutningar och handlingar påverkar resultatet av spelet. Sociala förbindelser skapar personliga fördelar: spelare med grad större än t får högre förväntad utdelning jämfört med mindre anslutna spelare med grad mindre än t .

Vidare läsning

• Jackson, MO och L. Yariv (2005) "Diffusion på sociala nätverk ," Economie Publique 16(1): 3-16.
• Jackson, MO och L. Yariv (2007) "The Diffusion of Behavior and Equilibrium Structure on Social Networks," American Economic Review (papper och förfaranden) 97(2):92-98.
• Sundararajan, A. (2007) "Local Network Effects and Network Structure," BE Journal of Theoretical Economics 71(1): artikel 46.