Nilmanifold

I matematik är ett nilmanifold ett differentierbart grenrör som har en transitiv nilpotent grupp av diffeomorfismer som verkar på sig. Som sådan är ett nilmanifold ett exempel på ett homogent utrymme och är diffeomorft till kvotutrymmet $N/H$ , kvoten för en nilpotent Lie-grupp N modulo en sluten undergrupp H . Denna uppfattning introducerades av Anatoly Mal'cev 1951.

I den Riemannska kategorin finns det också en bra föreställning om en nilmanifold. Ett Riemannmanifold kallas en homogen nilmanifold om det finns en nilpotent grupp av isometrier som verkar transitivt på den. Kravet på att den transitiva nilpotenta gruppen verkar genom isometrier leder till följande stela karakterisering: varje homogen nilmanifold är isometrisk till en nilpotent Lie-grupp med vänsterinvariant metrik (se Wilson).

Nilmanifolds är viktiga geometriska objekt och uppstår ofta som konkreta exempel med intressanta egenskaper; i Riemannsk geometri har dessa utrymmen alltid blandad krökning, nästan platta utrymmen uppstår som kvoter av nilmanifolds, och kompakta nilmanifolds har använts för att konstruera elementära exempel på kollaps av Riemann-metrik under Ricci- flödet .

Utöver sin roll i geometrin ses nilmanifolds alltmer som att ha en roll i aritmetisk kombinatorik (se Green–Tao) och ergodisk teori (se t.ex. Host–Kra).

Kompakta nilmanifolds

Ett kompakt nilmanifold är ett nilmanifold som är kompakt. Ett sätt att konstruera sådana utrymmen är att börja med en enkelt sammankopplad nilpotent Lie-grupp N och en diskret undergrupp $\Gamma$ . Om undergruppen $\Gamma$ verkar kokompakt (via högermultiplikation) på N , så kommer kvotgrenröret $N/\Gamma$ att vara ett kompakt nollmanifold. Som Mal'cev har visat, erhålls varje kompakt nilmanifold på detta sätt.

En sådan undergrupp $\Gamma$ som ovan kallas ett gitter i N . Det är välkänt att en nilpotent Lie-grupp medger ett gitter om och endast om dess Lie-algebra medger en bas med rationella strukturkonstanter : detta är Malcevs kriterium. Inte alla nilpotenta Lie-grupper tillåter gitter; för mer information, se även MS Raghunathan .

Ett kompakt Riemann-nilmanifold är ett kompakt Riemann-grenrör som är lokalt isometriskt till en nilpotent Lie-grupp med vänsterinvariant metrik. Dessa utrymmen är konstruerade enligt följande. Låt $\Gamma$ vara ett gitter i en enkelt sammankopplad nilpotent Lie-grupp N , som ovan. Förse N med ett vänsterinvariant (Riemannsk) mått. Sedan verkar undergruppen ${\displaystyle \Gamma } genom isometrier på$ N via vänstermultiplikation. Således är kvoten $\Gamma \backslash N$ ett kompakt rum som är lokalt isometriskt med N . Notera: detta utrymme är naturligt diffeomorft till $N/\Gamma$ .

Kompakta nilmanifolds uppstår också som huvudbuntar . Tänk till exempel på en 2-stegs nilpotent Lie-grupp N som tillåter ett gitter (se ovan). Låt $Z=[N,N]$ vara kommutatorundergruppen till N . Beteckna med p dimensionen för Z och med q samdimensionen för Z ; dvs dimensionen på N är p+q. Det är känt (se Raghunathan) att $Z\cap \Gamma$ är ett gitter i Z . Följaktligen $G=Z/(Z\cap \Gamma )$ en p -dimensionell kompakt torus. Eftersom Z är central i N , verkar gruppen G på det kompakta nilmanifoldet $P=N/\Gamma$ med kvotmellanrum $M=P/G$ . Detta basgrenrör M är en q -dimensionell kompakt torus. Det har visat sig att varje huvudsaklig torusbunt över en torus är av denna form, se. Mer generellt är en kompakt nilmanifold en torusbunt, över en torusbunt, över...över en torus.

Som nämnts ovan är nästan platta grenrör intimt kompakta nilmanifolds. Se den artikeln för mer information.

Komplexa nilmanifolds

Historiskt sett betydde en komplex nilmanifold en kvot av en komplex nilpotent Lie-grupp över ett cocompact gitter . Ett exempel på en sådan nilmanifold är en Iwasawa-grenrör . Från 1980-talet ersatte en annan (mer allmän) föreställning om en komplex nilmanifold gradvis denna.

En nästan komplex struktur på en verklig Lie-algebra g är en endomorfism $I:\;g\rightarrow g$ som kvadrerar till −Id _g . Denna operator kallas en komplex struktur om dess egenrum, motsvarande egenvärden $\pm {\sqrt {-1}}$ , är subalgebra i $g\otimes {\mathbb {C} }$ . I det här fallet I en vänsterinvariant komplex struktur på motsvarande Lie-grupp. Ett sådant grenrör ( G , I ) kallas en komplex grupp grenrör . Det är lätt att se att varje sammanhängande komplex homogen grenrör utrustad med en fri, transitiv, holomorf verkan av en verklig Lie-grupp erhålls på detta sätt.

Låt G vara en riktig, nilpotent Lie-grupp. En komplex nilmanifold är en kvot av en komplex gruppmanifold ( G , I ), utrustad med en vänsterinvariant komplex struktur, av ett diskret, kokompakt gitter, som verkar från höger.

Komplexa nilmanifolds är vanligtvis inte homogena, som komplexa sorter.

I komplex dimension 2 är de enda komplexa nilmanifolderna en komplex torus och en Kodaira-yta .

Egenskaper

Kompakta nilmanifolds (förutom en torus) är aldrig homotopiformella . Detta innebär omedelbart att kompakta nilmanifolds (förutom en torus) inte kan tillåta en Kähler-struktur (se även ).

Topologiskt kan alla nilmanifolds erhållas som itererade torusbuntar över en torus. Detta är lätt att se från en filtrering genom stigande centralserier .

Exempel

Nilpotent Lie-grupper

Från ovanstående definition av homogena nilmanifolds är det tydligt att varje nilpotent Lie-grupp med vänsterinvariant metrisk är en homogen nilmanifold. De mest välbekanta nilpotenta Lie-grupperna är matrisgrupper vars diagonala poster är 1 och vars nedre diagonala poster alla är nollor.

Till exempel är Heisenberg-gruppen en 2-stegs nilpotent Lie-grupp. Denna nilpotenta Lie-grupp är också speciell genom att den medger en kompakt kvot. Gruppen $\Gamma$ skulle vara de övre triangulära matriserna med integralkoefficienter. Den resulterande nilmanifolden är 3-dimensionell. En möjlig fundamental domän är (isomorf till) [0,1] ³ med ansiktena identifierade på ett lämpligt sätt. Detta beror på att ett element ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma } i nilmanifoldet kan$ representeras av elementet ${\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{zx\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\ }\\&&1\end{pmatrix}}$ i den grundläggande domänen. Här betecknar $\lfloor x\rfloor$ golvfunktionen för x , och $displaystyle \{x\}}$ \ bråkdelen . Golvfunktionens utseende här är en ledtråd till nilmanifoldernas relevans för additiv kombinatorik: de så kallade parentespolynomen, eller generaliserade polynomen, verkar vara viktiga i utvecklingen av högre ordnings Fourier-analys.

Abelian Lie-grupper

Ett enklare exempel skulle vara vilken abelsk Lie-grupp som helst. Detta beror på att varje sådan grupp är en nilpotent Lie-grupp. Till exempel kan man ta gruppen av reella tal under addition, och den diskreta, kokompakta undergruppen som består av heltal. Den resulterande 1-stegs nilmanifolden är den välbekanta cirkeln $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ . Ett annat välbekant exempel kan vara det kompakta 2-torus eller euklidiska utrymmet under addition.

Generaliseringar

En parallell konstruktion baserad på lösbara Lie-grupper ger en klass av utrymmen som kallas solvmanifolds . Ett viktigt exempel på en solvmanifold är Inoue-ytor , kända inom komplex geometri .