Nielsens teori

Nielsen-teorin är en gren av matematisk forskning med sitt ursprung i topologisk fixpunktsteori. Dess centrala idéer utvecklades av den danske matematikern Jakob Nielsen och bär hans namn.

Teorin som utvecklades i studiet av det så kallade minimala antalet av en karta f från ett kompakt utrymme till sig självt, betecknat MF [ f ]. Detta definieras som:

${\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {Fix} (g)\,|\,g\sim f\},$

där ~ indikerar homotopi av mappningar, och #Fix( g ) indikerar antalet fixpunkter för g . Det minimala antalet var mycket svårt att beräkna på Nielsens tid, och förblir så idag. Nielsens tillvägagångssätt är att gruppera fixpunktsuppsättningen i klasser, som bedöms som "väsentliga" eller "icke-nödvändiga" beroende på om de kan "tas bort" av en homotopi eller inte.

Nielsens ursprungliga formulering är ekvivalent med följande: Vi definierar en ekvivalensrelation på mängden fixpunkter i en självkarta f på ett mellanslag X . Vi säger att x är ekvivalent med y om och endast om det finns en väg c från x till y med f ( c ) homotopisk till c som vägar. Ekvivalensklasserna med avseende på denna relation kallas Nielsen-klasserna av f , och Nielsen-talet N ( f ) definieras som antalet Nielsen-klasser som har en fastpunktsindexsumma som inte är noll .

Nielsen bevisade det

$N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],$

gör hans invariant till ett bra verktyg för att uppskatta den mycket svårare MF [ f ]. Detta leder omedelbart till vad som nu är känt som Nielsens fixpunktssats: Vilken karta f som helst har åtminstone N(f) fixpunkter.

På grund av dess definition i termer av fixpunktsindex är Nielsen-numret nära relaterat till Lefschetz-numret . Kort efter Nielsens första arbete kombinerades de två invarianterna till ett enda "generaliserat Lefschetz-nummer" (som nyligen kallades Reidemeister-spåret) av Wecken och Reidemeister .

Bibliografi

• Fenchel, Werner ; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt (red.). Diskontinuerliga grupper av isometrier i det hyperboliska planet . De Gruyter studier i matematik. Vol. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.

externa länkar

• Enkätartikel om Nielsens teori av Robert F. Brown på Topology Atlas