Newtons teorem (fyrhörning)
I euklidisk geometri säger Newtons teorem att i varje tangentiell fyrhörning förutom en romb , ligger mitten av incirkeln på Newtonlinjen .
Låt ABCD vara en tangentiell fyrhörning med högst ett par parallella sidor. Låt dessutom E och F mittpunkterna för dess diagonaler AC och BD och P vara centrum för dess incirkel. Givet en sådan konfiguration ligger punkten P på Newtonlinjen, det vill säga linjen EF som förbinder diagonalernas mittpunkter.
En tangentiell fyrhörning med två par parallella sidor är en romb. I detta fall sammanfaller både mittpunkterna och mitten av incirkeln och per definition existerar ingen Newtonlinje.
Newtons sats kan lätt härledas från Annes sats med tanke på att i tangentiella fyrhörningar är de kombinerade längderna av motsatta sidor lika ( Pitotsatsen : a + c = b + d ). Nu enligt Annes teorem är det tillräckligt att visa att de kombinerade områdena av motsatta trianglar PAD och PBC och de kombinerade ytorna av trianglarna PAB och PCD är lika för att säkerställa att P ligger på EF . Låt r vara radien för incirkeln, då är r också höjden för alla fyra trianglarna.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\[5pt]={}&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca1c41e1c8ec27f235b58d866dcc64496b164b8)
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics . MAA, 2010, ISBN 9780883853481 , s. 117–118 ( onlinekopia , s. 117, på Google Books )
externa länkar
- Newtons och Léon Annes teorem på cut-the-knot.org