Nakajima–Zwanzigs ekvation

Nakajima –Zwanzig-ekvationen (uppkallad efter fysikerna som utvecklade den, Sadao Nakajima och Robert Zwanzig ) är en integrerad ekvation som beskriver tidsutvecklingen för den "relevanta" delen av ett kvantmekaniskt system. Den är formulerad i densitetsmatrisformalismen och kan betraktas som en generalisering av masterekvationen .

Ekvationen tillhör Mori-Zwanzig-formalismen inom den statistiska mekaniken för irreversibla processer (uppkallad efter Hazime Mori). Med hjälp av en projektionsoperator delas dynamiken upp i en långsam, kollektiv del ( relevant del ) och en snabbt fluktuerande irrelevant del. Målet är att utveckla dynamiska ekvationer för den kollektiva delen.

Härledning

Utgångspunkten är den kvantmekaniska versionen av von Neumann-ekvationen , även känd som Liouville-ekvationen:

\partial _{t}\rho ={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]=L\rho ,

där Liouville-operatorn $L$ definieras som $LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]$ .

Densitetsoperatorn ( densitetsmatris ) $\rho$ delas med hjälp av en projektionsoperator ${\mathcal {P}}$ i två delar ${\displaystyle \rho =\left({\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}\right)\rho } , där Q$ ≡ $displaystyle {\mathcal {Q}}\equiv 1-{\mathcal { P}}}$ . Projektionsoperatorn ${\mathcal {P}}$ väljer den tidigare nämnda relevanta delen från densitetsoperatorn, för vilken en rörelseekvation ska härledas.

Liouville – von Neumanns ekvation kan alltså representeras som

{\partial _{t}}\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\rho = \left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal { P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\rho +\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q} }\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal {Q}}\\{\mathcal {P}}\\\end{matrix}}\right)\ rho.

Den andra raden är formellt löst som

{\mathcal {Q}}\rho ={{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\rho (t=0)+\int _{0}^{t}dt' {e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\rho (t-{t}').

Genom att koppla in lösningen i den första ekvationen får vi Nakajima–Zwanzig-ekvationen:

\partial _{t}{\mathcal {P}}\rho ={\mathcal {P}}L{\mathcal {P}}\rho +\underbrace {{\mathcal {P}}L{{ e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}{\mathcal {Q}}\rho (t=0)} _{=0}+{\mathcal {P}}L\int _{0}^ {t}{dt'{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\rho (t-{t}')}.

Under antagandet att den inhomogena termen försvinner och använder

{\displaystyle {\mathcal {K}}\left(t\right)\equiv {\mathcal {P}}L{{e}^{{\ mathcal {Q}}Lt}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}},} P

\displaystyle {\mathcal {P}}\rho \equiv {{\ rho }_{\mathrm {rel} }},}

samt

{\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {P}},

vi får den slutliga formen

\partial _{t}{\rho }_{\mathrm {rel} }={\mathcal {P}}L{{\rho }_{\mathrm {rel} }}+\int _{0 }^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{\mathrm {rel} }}(t-{t}')}.

Se även

Redfields ekvation

Anteckningar

^ En härledning som är analog med den som presenteras här finns till exempel i Breuer, Petruccione The theory of open quantum systems , Oxford University Press 2002, S.443ff.
^ ${\mathcal {P}}\rho =$ (relevant del) · (konstant). Den relevanta delen kallas den reducerade densitetsoperatören för systemet, den konstanta delen är densitetsmatrisen för termalbadet vid jämvikt.
^ För att verifiera ekvationen räcker det att skriva funktionen under integralen som en derivata, $de^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}e^{L(tt')}=-e^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}e^{L(tt')}dt'.$
^ Ett sådant antagande kan göras om vi antar att den irrelevanta delen av densitetsmatrisen är 0 vid den initiala tiden, så att projektorn för t=0 är identiteten. Detta är sant om korrelationen mellan fluktuationer på olika platser orsakade av termalbadet är noll.

^ Nakajima, Sadao (1 december 1958). "Om kvantteorin om transportfenomen: stadig diffusion" . Framsteg inom teoretisk fysik . 20 (6): 948–959. Bibcode : 1958PThPh..20..948N . doi : 10.1143/PTP.20.948 . ISSN 0033-068X .
^ Zwanzig, Robert (1960). "Ensemblemetod i teorin om irreversibilitet". Journal of Chemical Physics . 33 (5): 1338–1341. Bibcode : 1960JChPh..33.1338Z . doi : 10.1063/1.1731409 .

E. Fick, G. Sauermann: The Quantum Statistics of Dynamic Processes Springer-Verlag, 1983, ISBN 3-540-50824-4 .
Heinz-Peter Breuer, Francesco Petruccione: Teorin om öppna kvantsystem. Oxford, 2002 ISBN 9780198520634
Hermann Grabert Projektionsoperatörstekniker i statistisk mekanik utan jämvikt , Springer Tracts in Modern Physics, Band 95, 1982
R. Kühne, P. Reineker: Nakajima-Zwanzigs generaliserade masterekvation: Evaluation of the kernel of the integro-differential equation , Zeitschrift für Physik B (Condensed Matter), Band 31, 1978, S. 105–110, doi : 0/70. BF01320131

externa länkar

"Nakajima-Zwanzig-Gleichung" . PhysikWiki (på tyska) . Hämtad 20 december 2018 .

[3] En härledning som är analog med den som presenteras här finns till exempel i Breuer, Petruccione The theory of open quantum systems , Oxford University Press 2002, S.443ff.

[4] ${\mathcal {P}}\rho =$ (relevant del) · (konstant). Den relevanta delen kallas den reducerade densitetsoperatören för systemet, den konstanta delen är densitetsmatrisen för termalbadet vid jämvikt.

[5] För att verifiera ekvationen räcker det att skriva funktionen under integralen som en derivata, $de^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}e^{L(tt')}=-e^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}e^{L(tt')}dt'.$

[6] Ett sådant antagande kan göras om vi antar att den irrelevanta delen av densitetsmatrisen är 0 vid den initiala tiden, så att projektorn för t=0 är identiteten. Detta är sant om korrelationen mellan fluktuationer på olika platser orsakade av termalbadet är noll.

[1] Nakajima, Sadao (1 december 1958). "Om kvantteorin om transportfenomen: stadig diffusion" . Framsteg inom teoretisk fysik . 20 (6): 948–959. Bibcode : 1958PThPh..20..948N . doi : 10.1143/PTP.20.948 . ISSN 0033-068X .

[2] Zwanzig, Robert (1960). "Ensemblemetod i teorin om irreversibilitet". Journal of Chemical Physics . 33 (5): 1338–1341. Bibcode : 1960JChPh..33.1338Z . doi : 10.1063/1.1731409 .